Problème. — Déterminer un entier B tel que

^ ^ afj (mod Ij) ? = aj (mod I2)

J = at„ (mod I„).

'Jl8 THEORIE DES NOMBRES

Ces congruences à module idéal se résolvent par la méthode du 11° 386. Proposons-nous, en supposant le problème possible, de trouver la forme générale de la solution. Soit ^o une solution, on voit que ^ — ^o est un multiple commun delj, I2, ... I,,. Donc :

X étant un entier quelconque appartenant à l'idéal M(Ii, I2, ... I„). Traitons en particulier le cas 011 Ii, I2, ... I» sont premiers entre eux deux à deux. Dans ce cas le problème est possible. En effet soit d'abord le cas de deux idéaux :

(mod I,)

(mod I2)

- Ti -+- W, Hi)

I2 = di{— r.2 -+- 0),

6,0), Oo =

Oj H- 650), ^ = x -\-

- JIO,

btie

nt pour

x et y les congruences :

- 6j ^ 0 (mod di)

Oi +- ri(ji — J-

6j) ^ 0 (mod diiii) - b-i^ 0 (mod ^2)

6j) ^ 0 (mod diiii).

Or I| étant premier à I2, di est premier à di', donc la première et la troisième conditions donnent des valeurs pour y. Après quoi la première et la quatrième donnent des valeurs pour x parce que diRi et c?2n2 sont aussi premiers entre eux. Le problème est donc possible.

Ayant démontré que le problème est possible dans le cas de deux idéaux on démontrera de proche en proche qu'il est possible pour un nombre quelconque d'idéaux.

La solution générale est ^ -f- X, X étant un entier quelconque de l'idéal Iilj ...In (qui est ici le plus petit commun multiple de Ii,l2. ...L).

1° Congruence dont le module est un idéal premier. On la ramène comme au n" 33 a la forme :

^2 = a (mod P).

dans ce cas

CONGRUENCE DU SECOND DEGRE A DNE INCONNUE 7I9

Si a ^ o (mod P) il y a une seule solution : S ^ o. Si a ^ 0 (mod P), si, de plus, P n'est pas un diviseur de 2, la condition de possibilité est (n" 377) :

%(P)- I a =• =1 (mod P)

et il y a deux solutions ± ^q. On dit alors que a est reste quadratique de P. On pose comme au n" 37 :

( p ) = — 1 lorsque a ^ ^ — i (mod P) ( p I = 0 lorsque a ^ 0 (mod P).

Si P est un diviseur de 2 on voit lacilement les résultats suivants : si m ^ 5 (mod 8), 2 est décomposable en deux facteurs premiers dont la norme est 2. Soit Q l'un de ces facteurs, il n'y a qu'un entier (mod Q) non divisible par Q, c'est i. La congruence :

a une solution B^ i.

Si m ^ 5 (mod 8), 2 est premier ; il y a trois entiers (mod 2) non divisibles par 2, à savoir i, «, i + w. Soit a l'un de ces entiers, la congruence :

^* ^E a (mod 2)

a une solution et une seule, qui est a ;

2° Congruence dont le module est une puissance d'un idéal premier (comparer n° 26).

Soit :

(2) /(^) = o (modP'").

On la suppose résolu pour les valeurs i, 2, ...m — i de l'exposant. Soit ^0 une solution de :

f{k)=o (modP»'-'). ' .

Il faut, dans (2), poser :

X étant un entier divisible par P"*"*, et déterminer 1 au module P"" près. Ainsi X est déterminé par les deux congruences :

(3) /(f,HX) = o (modP-)

(4) X = 0 (mod P'»-').

Si on développe (3), on peut, d'après (A) négliger les puissances de X à partir de X% et il vient :

/(S.) 4- )/'($o) = 0 (modP-).

Si/'(|o) ^ o (mod P), cette congruence a une solution et une seule (mod P*") car D[/'(^o) P™] = i. D'ailleurs cette solution satisfait à la condition (/i) puisque /(^o) et P"* sont tous les deux divisibles par P"'"', tandis que /'(|o) ne l'est pas. On voit ainsi que : à chaque racine ^o d^ f{^^ ^ o {mod P) telle que/'{^o) ^ o {mod P), correspond une solution et une seule pour la congruence (2).

Si/'(^o) ^ o (mod P), il faut distinguer suivant les plus hauts exposants de P qui divisent J'{Ho) et J{Bo). Nous laissons au lecteur le soin d'achever la discussion ;

3° Congruences suivant un module quelconque. — La méthode est la même qu'au n° 26 en s'appuyant sur les résultats du n° 388.

390. Division des classes d'idéaux en genres. — Nous avons vu au Chap. XVIII comment les classes de formes quadratiques primitives de déterminant A se répartissent en genres. Cette répartition s'applique immédiatement aux classes d'idéaux. Seulement comme une classe d'idéaux correspond à deux classes de formes, lesquelles sont inverses changées de signe l'une de l'autre, il faut distinguer deux cas.

I" Cas. A est tel que deux classes inverses opposées ont toujours

le même genre. Gela arrive quand les facteurs premiers impairs

du déterminant A sont tous ^ i (mod 4) et que, de plus, si A

A est pair onav=i, — 3 ou 2 (mod 8). Dans ce cas, une classe

d'idéaux peut être en rapport avec deux classes de formes, mais ces deux classes ont le même genre. On peut donc dire que ce genre est le genre de la classe d'idéaux. 11 y a, dans ce cas, autant de genres d'idéaux que de genres de classes.

2" Cas. — Lorsque A ne satisfait pas aux conditions du premier