REPRESENTATION GEOMETRIQUE 72 I
cas, il arrive que deux classes de formes inverses opposées, n'ont pas le même genre. Alors, une classe d'idéaux est en rapport avec deux classes de formes qui n'ont pas le même genre. Ces deux genres de formes doivent être considérées comme ne faisant qu'un genre d'idéaux. Il y a donc, dans ce cas, deux fois moins de genres d'idéaux que de genres de formes.
391. Représentation géométrique des idéaux dans le cas des corps imaginaires. — Les nombres d'un idéal forment un réseau (n^SôG). Le parallélogramme fondamental a pour sommets les points 0, dn et — r -h w. Il est facile de voir que les longueurs de ses côtés sont \ dn \ et d\/r^ -\- pr — k, et que l'angle de ces côtés est :
arc 008
a /r* -h pr — k
Ce n'est pas un réseau quelconque. En appelant /et /' les longueurs des côtés du parallélogramme, a leur angle, les trois quantités suivantes :
ZV^— A —jf — '. — 1 2t Sin 3£
/V — A ^ — A cotg a p a/ sin a a a
iprfïvpmAn
fin r' + pr— /f ^j „^c^r.f^
entiers. Réciproquement un réseau satisfaisant à ces conditions est un idéal, et s'appellera un réseau idéal.
Deux réseaux idéaux conjugués sont symétriques par rapport à Ox et réciproquement.
Etant donné un réseau idéal le diviseur d est le nombre de points du réseau qui se trouvent sur un côté d'un parallélogramme élémentaire les deux extrémités du côté ne comptant que pour un point. Quand il n'y a pas sur ce côté d'autre point du réseau que les deux extrémités l'idéal est primitif.
La norme est le nombre de points du réseau contenus dans le parallélogramme élémentaire, comptés comme dans I. n° lAg.
Quand un réseau idéal est divisible par un autre, tous les points du premier appartiennent au second. La réciproque est vraie.
Oq a vu (n" 352) que les réseaux idéaux principaux sont carac-
Càhh. — Théorie des nombre*, t. II. 46
72 2 THEORIE DES NOUBRES
térisés par ce fait qu'ils sont semblables au réseau total. On peut généraliser.
Théorème. — Deux réseaux idéaux de même classe sont semblables et réciproquement.
Soient en effet I et I' deux idéaux de même classe. On a :
a, ex! étant deux nombres existants. Donc le réseau de F s'obtient en faisant subir au réseau de I une homothétie de centre 0 et de
ra
pportégalà mod (- j, puis une rotation égale à argument (- ) ;
le réseau ainsi obtenu est semblable au premier. La réciproque se voit de même.
Le rapport d'homotbétie est égal à Mod (-), c'est-à-dire à v/^)oue„finiV/f?-
392. Représentation géométrique des classes de formes binaires quadratiques définies. — Considérons les réseaux qui représentent des idéaux de même classe. D'après ce qui précède si on réduit chacun d'eux, I, dans le rapport \/%{î), les nouveaux réseaux obtenus sont tous égaux entre eux et ne diffèrent plus que par leur orientation.
Donc si on ne considère que la forme de ce réseau, elle correspond à une classe.
Prenons pour construire le réseau l'idéal ( — r -4- w. n). Le parallélogramme fondamental a comme longueur de côtés /n et
4 /^ P^ et comme an^le arc cos ■ ^^ ~~-£- . Ce réseau
V n ° ^H-4 pr — /c
correspond aussi à la classe de formes quadratiques binaires en
rapport avec la classe d'idéaux. (Il y a deux classes de formes,
l'une comprenant des formes définies positives, l'autre des formes
définies négatives ; nous négligeons la seconde). On est en définitive
amené au résultat suivant : à la forme définie positive (a, 6, c) on
fait correspondre le réseau bâti sur un parallélogramme ayant pour
longueurs de côtés \/â et y/c, ces côtés faisant l'angle dont le
cosinus est — -=. Toutes les formes d'une même classe ont le même 2 s/o.c
réseau. Les carrés des distances deux à deux des points du réseau
sont les entiers représentables par la forme.
La surface du parallélogramme fondamental est - — .
D'ailleurs, dans ces résultats rien ne suppose plus que le déterminant de la classe de formes soit un noyau, comme cela a lieu dans les classes de formes tirées de classes d'idéaux.
Les deux réseaux correspondant à deux classes d'idéaux ou de formes inverses l'une de l'autre sont aussi égaux, mais ne peuvent être amenés à coïncider qu'en faisant sortir l'un d'eux du plan. Gela tient à ce que les réseaux correspondants à deux idéaux conjugués
( — r 4- w, n) et ( — /• -h w, n) sont symétriques par rapport à Ox. Dans le réseau correspondant à une classe de formes il y a une infinité de parallélogrammes fondamentaux. Chacun d'eux correspond à une forme de la classe. La forme réduite est celle qui correspond au parallélogramme OAGB tel que A soit le point du réseau le plus voisin de 0, et que G soit, parmi tous les points du réseau qui ne sont pas sur OA, celui qui est le plus voisin de 0. En général ces conditions définissent un seul parallélogramme, dans des cas particuliers cela peut cesser d'être vrai. Alors il faut des conditions supplémentaires que nous laissons au lecteur le soin de trouver.
Il existe un grand nombre de définitions des idéaux. Nous allons montrer ici par exemple comment on peut définir les idéaux dans les corps quadratiques comme des nombres existant réellement, mais élangers au corps et qu'on lui adjoint.
Pour y arriver nous supposerons d'abord acquise la théorie des idéaux telle que nous l'avons développée et nous nous proposons de faire correspondre à chaque idéal un nombre, de façon à satisfaire aux conditions suivantes :
1° 8i a l'idéal 1 correspond le nombre i et à l'idéal V le nombre i', à l'idéal II' correspond le nombre ii' ; 2'^ A an idéal principal (a) correspond
le nombre a. Si ces conditions sont remplies, l'ensemble des nombres correspondant aux idéaux obéira aux mêmes lois de divisibilité que l'ensemble des idéaux et, de plus, comprendra l'ensemble des nombres du corps.
Pour établir cette correspondance entre idéaux et nombres il suffît de choisir un idéal dans chaque classe et de fixer le nombre correspondant. Car si à lidéal I correspond le nombre i, soit I' un idéal de môme classe que I. On a
X' — ^ a, aï étant deux nombres correspondants, donc à 1' correspondra le
nombre —
Il suffit même de choisir un idéal dans chaque classe fondamentale du groupe des classes. Car soient G. G', ... les classes fondamentales et G'"C''"' ... une classe quelconque. Si dans G on a choisi l'idéal I auquel correspond le nombre i", dans G' l'idéal I' auquel correspond le nombre i' etc., alors l'idéal l"'!'»»' ... appartient à la claise G'"G''"' ... et il lui correspond le nombre j'"t''"' ...
Enfin pour choisir i correspondant à I de la classe G, soit e l'exposant de G. On aura l" = a, étant un nombre existant. Donc i" = a, d'où i =■ \JoL fon prendra une détermination quelconque de i/'^)- Le lecteur démontrera sans peine que la correspondance ainsi établie entre nombres et idéaux satisfait aux conditions imposées.
Exemple. — Dans le corps C{i\/b), il y a deux classes d'idéaux, la principale et une autre d'exposant a contenant I = ( — i -h i\/b, a). On a I* = 2. Donc à I correspond i = y/â.
Voyons alors quel nombre correspond à un idéal ( — r + i/S, n) de la même classe. Ge nombre i est déterminé par
(— 1 H- i/b, a) {— r + ty/S, n)
d'où
., /â( — r -h iy/S, n) y/a (— r -h i^b, n) (— i — isfS, a) ~ (— 1 H- Wb, a) 2
( — r -Y- i y/S» n) ( — i — Wb, a) est un idéal principal de norme an. Or ( — r -h i\/5, Al) appartenant à la classe de ( — i -h i^b, a), n est représentable par la forme (a, a, 3) et l'on a
n = aa;* -)- axj -h Sj^.
Donc 211 = (arc + yY -+- py^.
Donc 2/1 est la norme de 2x -\- y -h i\^5. Alors
., ax -hy -h iy\/b .
Tels sont les nombres qu'il faut adjoindre aux nombres du corps .
237 I ■ Vil l.i. I l/^ )
En résumé t ensemble des nombres x -h iyvb et '^-^z:
obéit aux lois de la divisibilité du corps C(i).
Mais l'on ne peut pas additionner ces nombres, car les résultats obtenus sortiraient de l'ensemble. D'ailleurs les nombres que Ton fait ainsi correspondre aux idéaux ne sont déterminés qu'à un facteur unité près.
Maintenant on conçoit qu'au lieu d'arriver à ces nombres de la façon précédente on pourrait les adjoindre, à priori, au corps C{i^b), et l'on aurait ainsi une nouvelle définition des idéaux dans ce corps.
II. Déterminer les idéaux premiers dans les corps 0(1/2), C(v/2), G(tV5), C{^w).
III. Déterminer, dans un corps quadratique, les entiers indécomposables en facteurs existants qui ne sont cependant pas premiers. Application au corps C(iV5j.
