LES ORDRES D'ENTIERS DANS LES CORPS QUADRATIQUES

393. Anneaux d'entiers dans un corps. — Nous avons considéré au n° 333 l'ensemble des entiers x -+■ iy\/3 [x, y entiers ordinaires) et nous avons vu que les lois de la divisibilité des entiers ordinaires ne s'appliquent pas.

Peut-on rétablir ces lois par l'introduction d'idéaux ? La réponse ne ressort pas des chapitres précédents, car les résultats obtenus dans ces chapitres se rapportent à l'ensemble de lous les entiers d'un corps. Or les nombres x + iy\/S ne constituent pas tous les entiers du corps C(iV3).

Les entiers x -4- yi\/E forment, dans le corps C(i/3) un anneau, c'est-à-dire que la somme, la différence, le produit de deux nombres de l'ensemble appartiennent encore à l'ensemble. Nous allons d'abord rechercher tous les anneaux contenus dans un corps quadratique donné.

Avant cela remarquons que dans le corps C(i), on détermine immédiatement les anneaux qui ne sont autres que les multiples d'un certain entier, les anneaux ne diffèrent pas des idéaux.

Il est évident qu'un anneau est un réseau et qu'on peut le définir par une base à deux éléments. On sait d'ailleurs que l'on peut supposer que l'un de ces deux éléments est un entier ordinaire. Soit donc le réseau (a, a), a étant un entier rationnel; quant à a on suppose que ce n'en est pas un, sinon l'anneau appartiendrait au corps C(i).

On voit facilement que pour que ce soit un anneau il faut et il suffit que les nombres a^ aa et a' appartiennent au réseau. Or a^