ORDRES
et aa. y appartiennent certainement, reste donc à expri mer que a y appartient, c'est-à-dire qu'il y a deux entiers «, y, tels que
ax -\- oiy =^ a*.
L'égalité conjuguée donne
ax H- ay = a
difiFérente de la précédente puisque a n'est pas rationnel. Ces deux égalités donnent les valeurs de a; et 7 :
La seule condition pour que le réseau soit un anneau est que la valeur de x soit entière, c'est-à-dire que a soit un diviseur de %(a). Ainsi ;
Les anneaux d'entiers d'un corps quadratique sont les réseaux (a, a) dans lesquels a est un entier quelconque du corps cl a un entier rationnel diviseur de l'fc(a).
On peut d'ailleurs supposer a >► o et en posant a = 6 H- cw on peut aussi supposer
Gomme cas particulier on constate que les idéaux [d{ — a + w) , dn] avec r^ -\- or — k ^ o (mod n) sont bien des anneaux .
304. Ordres. — Nous n'étudierons que les anneaux dans lesquels a=j. Alors on peut supposer 6 = 0. De tels anneaux sont dits des ordres. Ainsi un ordre est un réseau de la forme
(i, cw) . (c > o).
On peut encore dire : on appelle ordre dans un corps quadratique l'ensemble des entiers de ce corps dans lesquels le coefficient de w est divisible par un entier donné c. Cet entier c est dit le conducteur de l'ordre.
L'ordre précédent sera désigné par 0(cw).
Par exemple l'ensemble des nombres x -f- yi\/3 forme l'ordre 0(2/) dans le corps C{j). Car on peut écrire
x-f- jiv/3=;X-h2Y/
en posant
— I -4- iV5 V , V
J = ^— ^ X=x-hy Y = j.
L'ensemble de tous les entiers d'un corps forme l'ordre 0(w).
Nous allons tâcher de faire sur un ordre 0(cw) une théorie analogue à celle que nous avons développé dans les chapitres précédents sur l'ordre 0(w).
On dit qu'un entier a + 6cw de l'ordre O(cco) est divisible par un autre a -+- b'crù quand leur rapport est encore un entier de cet ordre.
Une condition nécessaire, est que (a -h 6cw) soit divisible par a' -f- 6'cw dans l'ordre 0(co). Mais cette condition n'est pas suffisante Par exemple cw est divisible par c dans 0(w) mais non dans 0(cw) (en supposant c ^ i).
Unités de l ordre 0(cw). — Ce sont les entiers de 0(c«) qui divisent tous les autres^. En particulier ils divisent i , et l'on voit qne ce sont les entiers de 0(cw) dont la norme est ± i. Une telle unité X -\- cy(xi est déterminé par
(1) x^ — çicxy — kc^y^ = ih i.
Cette équation se ramène immédiatement à une équation de Fermât.
En effet posons d = o ou i suivant que c'est pair ou impair. L'équation s'écrit :
ou en posant
(substitution unité), on obtient une équation de Fermât.
En particulier ±: i sont unités dans tout ordre.
Dans les corps imaginaires il n'y en a pas d'autres si c ;zf i . En effet si le corps n'est ni C(i) ni C(iV3), il n'y en a pas d'autres dans l'ordre 0(w).
Si le corps est G[i) ou C[j) il y a d'autres unités dans 0(w), mais
IDEAUX D VS ORDRE 729
ces unités n'appartiennent pas à 0(c&)) car le^coeffîcient de w est -h ou — I.
Dans les corps réels, tout ordre a une infinité d'unités, puisque l'équation (i) a une infinité de solutions. Elles sont comprises dans la formule ± a', u étant une unité fondamentale.
