Idéaux d'un ordre. — Un idéal d'un ordre 0(cw) est
l'ensemble des entiers représentés par une forme linéaire où les
coefficients et les variables appartiennent à l'ordre. On démontrera
sans peine qu'ils forment un réseau qui peut prendre la forme :
d[[ — r -+- coy)x -+- ny] avec
(3) r^ -h pcr — /fc* ^ o (mod n).
Réciproquement tout réseau de celte forme est un idéal de l'ordre. L'entier (d) sera dit le diviseur, dr le résida et d^n la norme de cet idéal.
On définit comme au n" 365 un ensemble complet (mod 1), I étant un idéal d'un .ordre, et l'on démontre que le nombre des éléments de cet ensemble est égal à %(I).
La condition (2) peut s'écrire
[. + P(£=P']V pp. [. ^ periP!] [,>(si=?l) + A..]^o (mod „).
Elle exprime que n est représentable primitivement dans une classe primitive de déterminant Ac^ On est alors conduit à appeler cet entier Ac' le déterminant de l'ordre 0(cw).
On détermine comme au n° 350, les idéaux de norme donnée. En particulier il n'y a qu'un idéal de norme i qui est l'ordre 0(cw) lui-même.
Un idéal principal de l'ordre 0(cw) est constitué par les produits a^ où a un entier fixe et B. un entier variable, tous les deux appartenant à l'ordre. La condition pour [que ( — r H- cw, n) soit un idéal principal de l'ordre 0(cw) est que n soit réprésentable par la forme quadratique principale de déterminant Ac" ou par cette forme changée de signe
.=±{[aH-?'^6]Vpp'[a + ei^)t]6-[P''''-^"'-*-fa']^i et que r soit congru à — r (mod n).
73o THÉORIE DES NOMBRES
Il ne peut pas arriver que tous les idéaux de l'ordre soient principaux (en supposant c ;2f i). En effet il n'est pas possible qu'au déterminant Ac" ne correspondent que la classe primitive et cette classe changée de signe. Car il y aura toujours les classes non primitives obtenues en multipliant par un diviseur y de c les classes
primitives de déterminant -— . Il en résulte qu'il n'y a pas d'ordre
0(c&)) (c ;zf i) 011 s'appliquent les lois ordinaires de la divisibilité.
Théorème. — Supposons qu'au déterminant Ac* ne correspondent
Ac* que les classes principales des déterminants —^ (y = diviseur de c),
multipliées respectivement par ") , et 'ces classes changées de signe. Dans ces conditions l'idéal ( — r -h cw, n) est principal si n est premier à c.
En effet, n ne peut être représenté par une classe de déterminant - multipliée par y, puisque n est premier à c. Donc n est
représenlable primitivement par la classe principale de déterminant A ou par cette classe changée de signe. Le reste de la démonstration s'achève comme au n° 360.
396. — ToTit ce qu'on a dit aux n° 361, 362 s'applique aux idéaux d'un ordre.
Le produit de deux idéaux se définit comme au n<> 363.
Mais le produit d'un idéal par l'idéal conjugué n'est pas toujours égal à la norme. Nous allons montrer que :
Le produit d'un idéal par l'idéal conjugué est égal à la norme, si cette norme est première au conducteur.
En efîet, en refaisant le calcul du n° 363 on voit que pour démontrer ce théorème il suffit de démontrer que les trois entiers :
(3) r^+pcr-Zcc^^ .r - cp, n
sont premiers dans leur ensemble.
Supposons-leur d'abord en commun un facteur premier impair p. On voit, comme au n° 363 qu'il devrait entrer au carré dans Ac\ ce qui est impossible car n et c n'ont pas de facteur commun et A n'a pas de facteur premier impair au carré.
IDEAUX REGDLIKRS D Dit ORDRE
Ensuite les entiers (3) ne sont pas tous les trois pairs. C'est évident si n est impair. Si n est pair, alors c est impair; alors si 0=1 c'est encore évident. Enfin si n est pair et p = o, supposons
pi /fc»
pour un instant pair. On en déduirait que r* — kc^ serait
divisible par 4, donc aussi r* — k, ce qui n'est pas car k n'est congru ni à o ni à I (mod 4)-
397. Idéaux réguliers d'un ordre. — On est ainsi conduit à considérer en particulier les idéaux d'un ordre dont la norme est première au conducteur. On les appelle réguliers. L'ensemble de ces idéaux jouit, relativement à la multiplication et à la division, (Je propriétés tout à fait analogues à l'ensemble de tous les idéaux du corps. D'abord la démonstration du n° 364 s'applique, de sorte que la norme du produit de deux idéaux réguliers est égale au produit des normes des Jacteurs. Il en résulte que le produit de deux idéaux réguliers est un idéal régulier.
Ces théorèmes s'étendent sans peine à un produit d'un nombre quelconque d'idéaux.
La multiplication des idéaux réguliers est une opération unipare. (Même démonstration qu'au n" 364j. La divisibilité de ces idéaux se traite comme pour les idéaux ordinaires.
On arrive alors à la notion d'idéaux réguliers premiers. D'abord les idéaux (/>') où p' est un facteur premier de c nesont pas réguliers et n'ont pas à être considérés. Ensuite un idéal (p) oii p est un nombre premier non facteur de c est régulier. Il est décomposable ou non suivant que p est représentable ou non par la forme principale de déterminant Ac'.
Ce sont là tous les facteurs premiers dont sont composés les idéaux régulier.
Exemple. — Considérons l'ordre 0(3/). Ici r = a, le nombres premier 2 n'a pas à être considéré. Les nombres premiers ordinaires congrus à — i (mod 6) sont encore premiers, les nombres premier ordinaires ^ i (mod 6) sont de la forme a} + 36^ et se décomposent en deux facteurs premiers non associés (a -+- bi\Jl>) {a — 6iV3). Enfin le nombre 3 est égal à — (i/H)'.
