Il y a des ordres où tous les idéaux réguliers sont

732 THÉORIE DES NOlliRES

principaux. Gela arrive lorsqu'au déterminant Ac^ ne correspondent, comme classes primitives, que la classe principale et cette classe changée de signe. En effet les classes non primitives, produits par

un diviseur y de c des classes primitives de déterminant -y n'interviennent pas ici puisque n étant premier à c n'est pas divisible par y.

Exemple, — Soit l'ordre 0(2^'). Au déterminant — la ne correspond

qu'une classe primitive (i, o, 3). Donc tous les idéaux [réguliers

de l'ordre 0{2J) sont principaux. La décomposition des entiers de la

forme x -+- j/ — 3 [x -h- j ^ i (mod a)] en facteurs premiers de la

même forme est donc possible et cela d'une seule manière (au facteur

— 1 près). Exemple :

i5(34 -+- 3i/3) = 5(i/3)« (a + W3) (i 4- aiVâ)'.

Mais sur l'ensemble de tous les idéaux, réguliers ou non, d'un ordre 0(cr«)) (c ;zf i), il est impossible de faire une théorie de la divisibilité analogue à celle des entiers ordinaires. La multiplication, dans ce cas, n'est même plus unipare.

Exemple, dans l'ordre 0(2/) on a

(i -4- iV5, a) (i — iy/â, a) = (4. a + aiV3, a — atV3, 4)

= (a) (a, I -+- iv/3. I — iV3) = (i -f- iV3, a) (a).

Ainsi les produits de l'idéal (i + iv^3, a) par les idéaux différents (1 — 1V3, a) et (a) sont les mêmes.

399. — Enfin les résultats relatifs aux classes d'idéaux s© généralisent pour les idéaux réguliers d'un ordre. On a vu que les idéaux de l'ordre 0(w) correspondent aux formes primitives de déterminant primitif A. On va voir de même que les idéaux de l'ordre 0(cw) correspondent aux formes primitives de déterminant AcV

Soit l'idéal ( — r -h cw, n). La congruence

X* H- pex — /ce' ^ o (mod n) a pour racine r. On en déduit que la congruence

X» -f- pp'X — ^^ PP = o (mod n)

c — p' est aussi possible et a pour racine r -\- o . Celle racine cor-

pond à une représentation primitive de n dans la classe de la forme

r* -+- pcr — /fc*\

ar ■+■ pc,

Celte classe est de déterminant Ac' et elle est primitive, car on a vu au n° 396 que ses trois 'coefficients sont premiers dans leur ensemble.

Chaque idéal régulier de l'ordre 0(cw) correspond ainsi à une classe primitive de déterminant Ac^ et à son inverse changée de signe. On en déduit la répartition de ces idéaux en classes. Les théorèmes des n" 378 à 379 s'appliquent.

Dans l'ordre 0(a y/m) (m noyau ^ i (mod 4)). si m ^ i (mod 8) toutes les unités du corps sont unités de l'ordre. Si m ^ 5 (mod 8), et si l'unité fondamentale est unité de l'ordre, toutes les unités du corps sont unités de l'ordre. Si w ^ 5 (mod 8) et si l'unité fondamentale u du corps n'est pas unité de l'o.'dre ; les unités de l'ordre sont données par la formule ± u^''.

Dans ce même ordre l'idéal ( — r -+- \/m, n) où r' — m ^ (mod n), est principal lorsque n est impair, ou lorsque n ^ o (mod 4) avec m ^ 5 (mod 8), ou lorsque n^o (mod 4) avec m ^ i (mod 8) et

impair. L'idéal n'est pas principal dans les autres cas.