III. — Déterminer une fonction arithmétique [Ji(n) telle que

[jl(i) = i et que Nu((i)z=o

pour toute valeur de m différente de 1 .

Réponse, p. (m) = o si m a des facteurs premiers multiples ;

(') Enoncée par Gauss, dans un cas particulier, par Serret, en général^ démontrée par S. Kantor, Annali di Maihem., (2) t. 10 (1880), p. 64.

si m a k facteurs premiers distincts (Môbils, J. r. a. M., 9 (i83a), p. io5). Il sera reparié plus tard de cette fonction célèbre.

IV. — Si /est une fonction arithmétique telle que ^f{d) soitdivi-

d/n sible par n, quel que soit n, alors

d/n est aussi divisible par n, quels que soient a et n. En faisant

fin) = ii{n)

on retrouve l'énoncé II (Gegenbaûer, Monatshejle Math. Phys., 11 (1900), p. 28).

IV. — La valeur de la fonction <^ satisfaisant à l'équation (i4) du n° 24, peut s'écrire

<l.(n) = 2f^(d)Fg).

V. — En posant l'expression de l'exercice II égale à/a(^), on a

^fa{d)=an

V. — Si /est une fonction arithmétique telle que /^J{d) soit divi-

dfn n

sible par n, quel que soit n ; alors 7 J{d)a'^ est aussi divisible par n

djn

quels que soient a et n. En faisant /(n) = \L{n) on retrouve l'énoncé II (Gegenbaùer, Monatshejle Math. Phys., 11 (1900), p. 28).

VI. — Appliquer les méthodes des n°' 26 et 27 à l'équation binôme a;"' ^ i (mod. n) et retrouver les résultats du n° 23.

VII. — En désignant par ). le nombre de fadeurs premiers distincts de n, le nombre v de solutions de a;* ^ i (mod. n) est égal à 2 si n est impair ou si n est congru à 4 (mod. 8). Il est égal à 2 si n est congru à ± 2 (mod. 8), enfin il est égal à 2 "t"' si n est congru à o (mod. 8).

Corollaire. — v = 2 quand n a des racines 'primitives v >» 2 dans les autres cas.

VIII^ — Les racines de x* ^ i (mod. n) [n impair) sont données par la formule a'^'"^ — 6^'"^ ou a et 6 sont deux diviseurs complémentaires (I. 4oo) de n, premiers entre eux (').

IX. — GénéraUsalion du théorème de l^ilsonn {*). Le produit des entiers positifs plus petits que n et premiers avec lui est congru à — i (mod. n), si n a des racines primitives ; il est congru à -h i dans le - cas contraire.

En effet à tout entier a plus petit que n et premier avec lui en correspond un a' tel que aa' e^ i (mod. ;i). Si l'on considère d'abord tous les entiers a pour lesquels a' ^ a (mod. n), leur produit est congru à 1 . Reste à considérer les entiers a pour lesquels a' = a, c'est-à-dire les solutions de x" ^ i (mod. n). Soit b une solution de celte congruence, alors — 6 est aussi solution ; on n*a d'ailleurs pas 6 ^ — 6 (mod. n) puisque b est premier avec n (sauf pour n = a, mais dans ce cas le théorème est évidemment vrai). De plus 6( — b) ^ — 1 (mod.

n). On voit ainsi que le produit en question est congru à ( — i)*, V élant le nombre de solutions de la congruence x- ^ i (mod, n). Or

et d'autre part tous les entiers I, J, ... sont pairs, etc.

X. — Autre généralisation de théorème de Wilsonn. Etant donné un entier impair n, si l'on considère les entiers a de la suite 1 , 2, ... n — i qui sont premiers à n et qui sont tels que a -+- i soit premier à n, le produit de ces entiers est congru à 1 (mod. n). (Schemmel, J. r. a. m., t. 70(1869), p. 191).

XI. — La somme des puissances /^"««s des entiers positifs non supéà n et premiers avec lui est congrue à zéro (mod. n) lorsque r est impair.

XII. — Trouver les entiers n qui jouissent de la propriété suivante : Pour tout entier c premier à n, l'expression a"~* — i est divisible par n.

Les nombres premiers jouissent de celte propriété d'après le théo-

(') M. L. V. GaosscHMiD donne celte proposition, mais avec o(d) et o{b] au lieu de )((a) et Xf^)- D'ailleurs l'énoncé de M. Grosschmid est relatif aux nombres algébriques {J. r. a. M., t. 189 (igii), p. loi).

(-) Indiqué par Gauss. Dtsq. Arithm., art. 78, démontré par Brenkecke, J. r. a. M., 19 (1889), p. 819.

ISOTES ET EXERCICES 85

rème de Fermât. Mais il y a d'autres solutions. Tous les entiers n répondant à la question sont ceux tels que / (/î)iiivise n — i.

On démontrera qu'un entier n répondant à la question ne peut contenir de facteur premier multiple, qu'il est impair (sauf n == a), que s'il contient plus d'un facteur premier il en contient au moins trois.

Il est d'ailleurs facile de trouver des solutions particulières. Par exemple : 56 1 = 3 , 1 1 , 1 7 , 1 -729 = 7.13. 19, etc. , mais la question n'est pas résolue en général.

Garmichael, Bull. Anieric. Soc, t. 16 (1909-10), p. 287 et Americ, Math. Monthly, t. 19 (191a), p. aa.