CHAPITRE III
29. Equations diophantiennes du second degré à une inconnue. Une telle équation est de la forme
ax^ -^ bx -\- c = o
où a, h, c sont des entiers conmis, x un entier inconnu.
Cas particulier. Racine carrée d'un entier. — Nous examinons d'abord le cas particulier de l'équation
Il est visible que la résolution de cette équation n'est autre que l'extraction de la racine carrée, question déjà traitée (I, gA)- Nous allons revenir sur cette question.
Si m < G l'équation n'a pas de solution.
Si m = o l'équation a une solution x = o.
Soit maintenant m >> o. Si m est carré parfait l'équation a deux racines ± \/ni, sinon elle n'en a pas. Comment peut-on voir si m est carré parfait? Au moyen d'une table des carrés parfaits (I, 94). Mais nous allons montrer ici comment on peut résoudre cette question sans posséder cette table. Pour cela reprenons une définition déjà donnée.
On .appelle racine carrée à une unité près de m, l'entier /" qui satisfait aux conditions :
Cet entier existe, est unique, et se confond avec la racine carrée /sans épithète) quand celle-ci existe. Nous nous proposons de déter-
miner cet entier, que, pour simplifier le langage, nous appellerons simplement dans ce qui va suivre racine carrée de m ou même racine de m.
La différence m — r^ que nous poserons égale à R s'appelle le reste de l'opération. Ce reste est nul quand ni est carré parfait, et réciproquement. On voit donc que si on sait déterminer r et par suite R, on saura reconnaître si ni est carré parfait.
Si aux trois membres des inégalités (i) on retranche r^ on obtient :
Réciproquement si des entiers r, R satisfont aux conditions :
o < R < ar + I
/' est la racine de m et R est le reste.
29 bis. Règle de l'extraction de la racine carrée d'un entier. — Si l'entier donné est plus petit que 100, il n'y a pas d'autre procédé que celui déjà donné (I, 94) il faut se servir de la table des carrés des 9 premiers entiers :
Entiers
Carrés
Exemple : la racine de 71 est 8, le reste est 71 — 8* = 7.
Examinons maintenant le cas général. Soit à extraire la racine de l'entier
lOoA -H lod -+- a
A étant le nombre des centaines, d le chiffre des dizaines ('), u celui des unités. Appelons /• le nombre des dizaines, h le chiffre des unités de la racine. Ils sont déterminés par les conditions :
(a) (lor -h hy < looA -f- lod + u < (lor + /i + i)^
conditions dont on sait à l'avance qu'il y a un système et un seul de valeurs de r et de h qui y satisfont.
(1) Dans 71924 par exemple, 719 est le nombre des centaines, 2 est le chiffre des dizaines.
On en tire :
{lorf < looA 4- lorf H- u < [io(r -h i)l«
ou en remarquant que locf + u < loo
(ior)8 < looA < [io(r -h i)|* ou enfin
rî" < A < (r + i)2.
Ceci prouve que r est la racine à une unité près de A.
Supposons donc /• connvi, reste à déterminer h par les conditions (2) et (3). Soit R = A — rMe reste de la racine de A, les inégalités (2) donnent :
2orh H- A» < iQoR + lod H- u < 2or(/i + 1) -+-(/i H- i)*.
La première inégalité donne
2or/t < lOoR -h lod + u ou, puisque o «^ u < 10. /
On essayera donc des valeurs de h décroissant de i en i à partir de celle-là. La première qui satisfait à la première des deux conditions est la bonne. L'autre condition est satisfaite d'elle-même puisque les valeurs de h essayées ne peuvent être trop petites.
Si l'on avait
/loK -l-d\ ^
il suffirait d'essayer les valeurs de h à partir de 9. (Mais il est facile de voir que ce cas ne peut se présenter que lorsque A -h i est carré parfait).
D'ailleurs quand h sera déterminé la différence
lOoR + lod -h u — (aor -h h) h
sera le reste de l'opération.
La recherche de la racine carrée d'un entier m est ainsi ramenée à celle de la racine d'un entier A qui a deux chiffres de moins et de proche en proche on est ramené à la recherche de la racine d'un entier plus petit que 100.
ANALYSE DU SECOND DEGRE A UNE INCONNUE Sq»
30. Equation diophantienne du second degré la plus générale. — Soit
ax^ -h 6x -+- c = o.
Le coefTicient a est différent de zéro sans quoi l'équation ne serait pas du second degré. On peut donc multiplier l'équation par ^a et la mettre sous la forme
{aax -h 6)* = 6' — l^ac.
La quantité b^ — ^ac ainsi mise en évidence s'appelle le déterminant de l'équation ou du trinôme ax^ -h 6x 4- c.Posons-làégaleà A. Donc si le déterminant est négatrj Péquation est impossible. Si le déterminant est nul, l'équation donne
2ar -h 6 = o.
Elle a donc une solution rationnelle :
laquelle est entière si aa divise 6. Si A = o on dit que l'équation a deux racines égales.
Enfin si le déterminant est positij, il y a deux cas à distinguer.
Si le déterminant n'est pas carré parjait F équation est impossible.
Si le déterminant est carré parfait, l'équation donne
2ax -h 6 = ±: /Â d'où deux solutions rationnelles
^^ aa
On verra dans chaque cas particulier si l'une de ces solutions ou les deux sont entières.
Remarque. — En tout cas 6 et /A sont de même parité. La formule (4) peut donc s'écrire
— bdry/Â
Lorsque 6 est pair et égal à 2 6', A est divisible par f\ et égal à [\k en posant
k = y* — ac
et l'on a
Théorème. — Lorsque l'équation ax^ -+ bx -\- c = o a deux racines rationnelles x', x {qui peuvent être égales) on a
ax- -^ bx -\- c = a{x — x') (x — x') quel que soit x, et
Se vénfic en remplaçant x et x" par leurs valeurs.
Nous laissons au lecteur le soin de démontrer le théorème suivant, cas particulier d'une proposition qui sera démontrée plus tard :
Si ax^ -h bx -h c = o a une racine rationnelle qui réduite à sa
plus expression est — , m divise c et n divise a.
