IV. — Tout cube parfait est congru à o, 1 ou 8 (mod

Tout bicarré parfait est congru à o, i (mod. 8)'

o, 1, 5, 6 (mod. 10).

Tous ces exercices se rapportent à la théorie des restes de puissance suivant un module.

V. — Le produit de deux entiers positifs consécutifs n'est pas un carré parfait.

Car

VI. — Le produit de trois entiers positifs consécutifs n'est pas un carré parfait. Un tel produit peut se représenter par a{€^ — 1). Si a est carré parfait, a^ — i ne l'est pas et le théorème est vérifié.

Si a n'est pas carré parfait, il contient au moins un facteur premier à un exposant impair, d'ailleurs ce facteur n'entre pas dans a- — i, etc.

VII. — Le produit de quatre entiers positifs consécutifs n'est pas un carré parfait. Ce théorème se déduit immédiatement du suivant :

VIII. — Le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1 est un carré parfait.

On a en effet l'identité

Tous les théorèmes précédents sont des cas particuliers du suivant :

IX. — Le produit d'un nombre quelconque A* (A" > ») d'entiers positifs consécutifs n'est pas une puissance «''"'"parfaite (n > i)- II suffît de montrer que dans le produit il y a au moins un facteur premier qui n'entre qu'à la première puissance. Qr le plus grand nombre premier/; qui entre dans le produit, jouit de cette propriété. Car sinon c'est que 2/) ferait partie du produit. Mais entre p et 2p il y a toujours d'autres nombres premiers [Cette dernière proposition duc à Tchcbichef sera démontrée plus tard].