RACINES PRIMITIVES. INDICES

1. — Gomme son titre l'indique, le présent volume doit être consacré principalement au second degré binaire, analyse diophantienne et formes. Nous le ferons néanmoins précéder de deux chapitres où seront exposées certaines notions d'un usage constant dans toute la Théorie des nombres.

Voici d'abord un problème dont les applications sont fréquentes : Problème. — Déterminer l'entier x satisfaisant à :

ac ^ /j (mod m^) X ^ li (mod mj)

X ^In (mod m„)

les l et les m étant des entiers donnés.

Cette question est un cas particulier du problème de la résolution d'un système de congruences traité dans le tome I de cet ouvrage.

Caben. — Théorie des nombres, t. II. I

On peut la traiter directement de la façon suivante : On tire de la première congruence

^ étant un entier arbitraire. Portant cette valeur de x dans la seconde congruence, on obtient une congruence du premier degré en ^. Si elle est impossible le système proposé est impossible. Si elle est possible elle donne ç en fonction linéaire d'un nouvel entier arbitraire; on portera cette expression dans la troisième congruence et ainsi de suite.

Forme de la solution générale. — Supposons le système possible ; soit x^ une solution particulière. Le système peut s'écrire :

X ^ Xq (mod m^)

X ^ x^ (mod' mj)

X ^ X, (mod m„)

Il exprime que x — x^ est divisible à la fois par Wj, mi, ... m„. La solution générale est donc

X = Xq -\- MX

M étant le plus petit commun multiple de /Mj, /Hj, ... m„ et ). un entier arbitraire.

Cas particulier où les modules sont premiers entre eux deux à deux. — Dans ce cas le système est possible. En effet, on peut en trouver une solution par la méthode suivante. Déterminons des entiers a^ a^, ... a„ par les conditions :

Wt^is ... nijifii ^ î (mod m,) m^rn3 ... /n„a2 ^ l (mod m^)

m^rrii ... m„,a„ ^ i (mod m„)

Ces congruences sont toutes possibles, car dans chacune d'elles le coefficient de l'inconnue est premier au module. Ensuite prenons un entier Xq satisfaisant à

.Tq ^ m^mi ... m^/jOi H- rniVis ... mjiai ... -tm^m^ ... m„j/„a„ (mod m^m2 ... m„).