Cas du module premier impair. — Congruence

x^ ^ a (mod. p).

Si a ^ o (mod. p) il y a la seule solution x^o. Soit maintenant a ^ o (mod. p).

Le problème est un cas particulier de celui du n" 10. La condition de possibilité est

a " ^ I (mod. p)

et si cette condition est remplie il y a les deux solutions x', x\ telles que

x" ^ — x' (mod. p).

CONGRUE.NCES DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE qS

Les entiers a ^ o (mod. p) pour lesquels la congruence est possible sont dits carrés parfaits (mod. p) ou restes quadratiques du module p. Les autres sont dits non carrés parfaits (mod. p) ou

non-restes quadratiques. Il y a ^~r~ restes quadratiques (mod./)), pour les former il suffit d'élever au carré les entiers 1,2, ... '—- — .

Exemples l. — p = 3. Il y a un reste quadratique 1^ ^ 1 la congruence x^ ^ i a comme solutions x ^ ± i la congruence x^ ^ — i est impossible.

H. — p ■=. b. Les restes quadratiques sont

i^ ^ 1, 2' ^ — I la congruence x* ^ 1 a comme solutions x ^ zh i

» X- ^ I » X := dz 2

les congruences x* ^ d= 2 sont impossibles. III. — p = i3. Les restes quadratiques sont

Remarque. — Le nombre o, joue un rôle particulier, puisque la congruence ce* ^ o n'a qu'une solution ; on ne l'appelle pas ordinairement un reste quadratique.

On remarquera l'analogie de tout ceci avec ce qui a été dit au n° 28 de l'équation x^ = a laquelle a aussi deux solutions, ou n'en a pas, ou en a une, suivant que a est carré parfait, ou ne l'est pas ou est égal à zéro.

33. Congruence ax* -f- fe^ -| c ^ o (mod. p). —La résolution est analogue à celle de l'équation ax^ + hx + c =0.

Le coefficient a est supposé non congru à zéro (mod. p), alors il en est de même de !\a. On peut donc multiplier la congruence pai" [\a ce qui donne

(2ax H- 6)2 ^ A (mod. p) en posant

h^ — kac = A.

Si A est reste quadratique de p, on déduit de là X = — (mod. p).

Si b est pair et égal à 26', A est divisible par 4 en posant A := ^k la formule se réduit à

X = (mod. p).

Si A est non-reste de p, la congruence proposée est impossible. Si A ^ o {mod. p) la congruence a une seule solution

X = — — (mod. p).

On peut dire qu'elle a deux solutions égales.

On vérifie facilement que lorsque la congruence a deux solutions {qui peuvent être égales) on a

ax^ -h bx -h c ^ a{x — x') {x — x") (mod. p) quel que soit x, et

a Exemples I.

2x^ — 3x -h 4 ^ o (mod. i3) A = — 23 = 3

qui est reste quadratique de i3, donc

3 zb v/3 3 ±: 4 (5 "^ - -T~ = ~V~ = ( 3

jx^ 4- 6x -t- I ^ o (mod. i3)

/c ^ 2 qui n'est pas reste quadratique de i3, la congruence est irapossible.

^x- -\- x — 4^0 (mod. i3)

A ^ 65 ^ o (mod. i3), donc une solution double

34. Congruence du second degré à module quelconque. — La méthode a été donnée aux n"' 26 et 27.

Exemples I.

3x^ — 3a; -h ^ ^ o (mod. i3'^).

On a ici 5 et 3 comme solulions de la congruence (mod. i3). Prenons la solution 5, Posons

il vient après simpliGcations

3 H- 4j ^ o (mod. i3) d'où

y ^ — 4 (mod. i3) et par suite

X ^ — 47 (mod. i3^).

On trouve de même l'autre solution

2x^ — 3a; 4- 4 ^ o (mod. 2.3. i3-)

La congruence (mod. 2) a la solution x ^ o mod. 3 elle a les solulions =t i mod. i3^ elle a les solutions — 4/ et — 36.

La congruence proposée a donc quatre solutions déterminées respectivement par ;

x'^o (mod. 3) x'^o (mod. 2) x"'^EO (mod. a) x"^^o (mod. a) x'=i (mod. 3) a;"=— I (mod. 3) x"'=i (mod. 3) x»^=— i (mod. 3) x'=— 47(mod.i3) a;"=-47(mod.i3^) x"'=— 36(mod.i3«) x«v=— 36(mod.i32)

d'où

x' ^ 460 x" ^ 122 x"' ^ 640 x'^ ^ 3o2 (mod. 2.3. i3^).