I. Discussion de x^ ^ a (mod
a impair, et = 1 une solution x ^ i (mod. 2).
a impair, a = 2. Si a ^ — 1 (mod. 4) congruence impossible
Si a ^ I deux solutions x ^ d= i
a impair, a^3. Sia^ — i,di3 (mod. 8) congruence impossible.
Si a ^ I (mod. 8), quatre solutions. L'une d'elles étant designée par x^^ les trois autres sont — Xo et zh
(Xo + 2='-M.
On vérifiera que c'est vrai pour a = 3 et. on démontrera à la
■g6 THÉORIE DES NOMBRES
façon ordinaire, que si c'est vrai pour une valeur de a c'est encore vrai pour celte valeur augmentée de i
a pair oc = i une solution x ^ o (mod. 2)
a pair a > 1. Si a ^ 2 (mod. 4) congruence impossible.
Si a == G (mod. 4) la congruence proposée a deux fois plus de solutions que la congruence
. x'^ ^ y (mod. 2^~^).
Discussion de ax^ -{- bx -h c^ o [mod. 2*). — a est supposé impair. Soit d'abord b pair. La congruence s'écrit, après multiplication par a
|aa; + -)'=! (mod. a«).
En posant
on a la congruence
aar -h - = X,
X» = ^"(mod. a«)
A toute valeur de X déterminée au mod. a'^ près en correspond une de x déterminée au même module près et réciproquement. On est donc ramené à la discussion précédente.
Soit maintenant 6 impair. La congruence s'écrit, après multiplication par 4a
(aax -h 6)* = A (mod. 2'+=').
En posant
2ax -h 6 ^ X, on a la congruence
X2 = A (mod. 2«+')
A toute valeur de X déterminée au mod. 2'='+=» près eu correspond une seule de x aU module 2^ près. Mais à deux valeurs de X différentes de 2«+i (lesquelles satisfont ensemble à X^^ A (mod. 2^+2}] ne correspond qu'une valeur de x. La congruence proposée a donc •deux fois moins de racines que la congruence
X2 = A (mod. 2''+=').
On est donc encore ramené à la discussion précédente. II. Discussion de ax^ -h 6x -h c ^ o [mod. p^).
(a ^ 0 (mod. p)).
En posant 200; + 6 ^ X la congruence devient (i) X« = A(mod./).
D'ailleurs à chaque valeur de x au module p'^ près correspond une seule valeur de X au même module près et réciproquement. On peut donc discuter la seconde congruence au lieu de la première.
Si A n'est pas reste quadratique de p la congruence est impossible.
Si A est reste quadratique de p, la congruence a deux solutions. C'est vrai pour a = i et on le voit ensuite de proche en proche. 11 suffit d'appliquer la méthode du n° 26. Soit Xq une solution de la congruence (i) prise avec le module p**"'. Il faut poser
d'où pour Y la congruence
^^^ 4- aXoY = 0 (mod. p).
Or Xq n'est pas divisible par p, puisque X^ satisfait à la congruence (i). Donc Y a une valeur et une seule (mod. p). Donc la congruence (mod. p^) a autant de solutions que la congruence (mod. p^—').
Si A est divisible par p, mais non par p^ : pour a = i la congruence (i) a la solution X ^ o (mod. p) et pas d'autres ; pour a >» I elle est impossible.
Si A est divisible par p^ : pour a = i la congruence (i) a encore la seule solution X ^ o, pour « = 2 elle a p solutions
Enfin pour a >. 2, on voit d'abord qu'une solution de (1) doit être divisible par p. Posons X = pX' il restera à déterminer X' au module p^— ' près par
(^) X'^--=^(mod.p«-^).
GàBBN. — Théorie des nombres, t. II. j
gS THÉORIE DES NOMBRES
A une solution Xo' de (2) correspondront /j solutious pour (i), à savoir >X' pX' + /)^-' pX' -t- ^p''-' ... p\' -h{p- i)/-'.
On est donc ramené à une congruence de même forme où A est remplacé par -j et a par a — 2 . Le reste de la discussion s'achève
facilement. '
De toute la discussion précédente résulte en particulier le théorème suivant dont nous aurons à faire usage. Si A n'est pas divisible par p^, la congruence ax^ -{- bx -h c^ o (mod. p^) n'a jamais plus de deux solutions.
III. Faisons encore la remarque suivante qui nous sera utile. Soit la congruence
. ax* -h bx -\- c ^ o (mod. p) (y >• 1),
Supposons que A ne soit pas divisible par p^, et que la congruence ait deux solutions x\ x" ; on a :
(mod.//).
En effet, faisons la transformation x = 2aX + b nous sommes ramenés à démontrer que les deux solutions X'X" de la congruence (1) sont telles que
Or X' étant solution, — X' l'est aussi. De plus — X' n'est pas la même solution que X', car on n'a pas
X' = — X' (mod. p'') ou
2X' ^ o (mod. y/)
puisque si cela était la congruence X'^ ^ A (mod. p^) montrerait que A serait divisible par p^ On a donc
X" = — X' (mod. p^)
d'où
X' -h X" = o (mod. p'j.
et
X'X" = — X'2 = A (mod. /).
36. Théorèmes sur les restes quadratiques. — Le module est supposé être un nombre premier impair p.
Le produit de deux restes est un reste. Soient a et 6 deux restes. On a (no 10)
I (mod. p)
et
Donc
p—i (ab) » = 1.
Donc ab est un reste.
On démontre de même que le produit d'un reste par un nonreste est un non-reste et que leproduit de deux non-restes est un reste.
On en déduit que : le rapport [mod. p) d'un reste à un reste est un reste, que le rapport d'un reste à un non-reste du d'un nonreste à un reste est un non-reste et enfin que le rapport de deux non- restes est un reste.
Comme cas particulier l'inverse [mod. p) d'un reste est un reste^ l'inverse d'un non-reste est un non-reste.
37. Caractère quadratique. — Soit p un module premier impair, soit a un entier. On appelle caractère quadratique de a par
rapport à p, et l'on désigne par (-) le reste minimum delà division
de a ^ par p.
D'après ce qu'on a dit au n° 10
- j = + I si a est reste quadratique de p si a est non-reste quad si a est divisible par p.
- ) r= — I si a est non-reste quadratique de p
Théorème. — La congruence ax^ -h hx + c ^ o [mod. p) (p nombre premier impair, a ^ o {mod. p)) a
I +1 - ) solutions.
En effet On a vu (n° 33) que si A est reste quadratique de p la congruence a deux solutions, que si A est non-reste, elle en a zéro et qu'enfin si A est divisible par p elle en a une.
Extension au cas da module 2. — La définition de /^j qu'on
vient de donner suppose p impair. On est amené dans certaines
questions à définir aussi un symbole ( - j de la façon suivante :
quand a ^ i (mod. 8) quand a ^ o (mod. 2) I dans les autres cas.
Comme exemple d'application de ce nouveau symbole, le théorème qu'on vient de démontrer sur la congruence ax^ -h bx -h c ^ o (mod. p) se généralise pour le module 2.
Soit
ax^ + 6a; -h c ^ o (mod. 2) (a impair).
D'après ce qu'on a dit au n° 31, a étant ici impair :
si 6 est impair et c pair il y a deux solutions
si 6 est pair il y a une solution quel que soit c
si 6 est impair et c impair il n'y a pas de solution.
Or dans le premier cas A = 6^ — /iac est congru à i (mod. 8), dans le second cas A est congru à zéro (mod. 2) et dans le troisième cas A ^ — 3 (mod. 8). Donc : la congruence
ax^ H- bx -\- c ^ o (mod. a) (a impair) a 1 H- [ — I solutions.
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