II- P

dans la suite i , 2 ....

Si p ^ i (mod. 4). en élevant les deux membres de (4) à la puissance — on démontrera que le nombre de non restes contenus dans

la suite i, 2, ... *- est de même parité que ^——

lOa THEORIE DES NOMBRES

III. — A propos de l'exercice précédent on peut remarquer que : si l'on appelle r le nombre de restes, n le nombre de non-restes contenus

dans la suite i, 2, ... ; r' et n! les nombres analogues pour la

suite

si /)^i(mod. 4) on a ( — i)'" = ( — i)" r = r' n = n'

si p^ — I (mod. Il) on a ( — i)*" = ( — 1)"+* r = n! n= r'.

IV. — On considère l'expression ax -+- b. On suppose que x parcourt la série des restes (mod. p). Voir parmi les valeurs que prend l'expression quelles sont celles qui sont restes et quelles sont celles qui sonl non-restes.

Si a ou 6 ^ o, réponse immédiate. On peut donc supposer ah ^ o. On pose ax = x' lorsque x parcourt la série des restes ax parcourt la

série des. restes ou des non-restes suivant que f -1 = -h ou — i.

D'ailleurs si l'on étudie l'expression quand x' parcourt la série des non-restes on l'étudié par cela même quand x' parcourt la série des restes. En résumé on peut supposer que l'expression soit x -{- h (6 ^ o) et poser x ^ X*

L'expression X^ H- h prend valeurs différentes. Cherchons celles

qui sont restes.

X2 -t- 6 = fx» donne (X — jji) (X -\- \L)^ — b.

Posons

Alors