DÉFINITION DES NOMBRES QUADRATIQUES

38. — Nous avons défini (I. i36) les nombres rationnels. On les appelle aussi nombres du premier degré. La raison de cette dénomination est la suivante : tout nombre rationnel, satisjait à une équation du premier degré à coefficients entiers ; réciproquement toute équation de cette forme est satisfaite par un nombre rationnel.

On peut même dire que les nombres fractionnaires ont été introduits dans le calcul justement pour qu'une telle équation ait toujours des solutions.

Considérons maintenant une équation du second degré à coefficients entiers. On a vu (n** 30) qu'une telle équation, si le déterminant n'est pas carré parfait, n'a pas de solution, entière ni rationnelle. C'est pour lui en donner qu'on va introduire dans le calcul de nouveaux nombres dits du second degré ou quadratiques.

Soit m un entier positif ou négatif, mais qui n'est pas carré parfait (Ainsi m ne peut être de la forme k^, mais il peut être de la forme — k^). Considérons l'ensemble de deux nombres rationnels p et 9 et représentons cet ensemble par la notation

(^) Le lecteur p«ut passer ce chapitre, car on définira plus tard le nombre dans toute sa généralité. Mais cela se fera par des considérations de continuité et nous avons voulu montrer dans ce chapitre sur un exemple simple qu'on peut s'en passer. On remarquera d'ailleurs combien les démonstrations sont alors compliquées et elles le seraient bien plus pour les nombres algébriques d'un degré quelconque.

(,^) \/m n'est, pour le moment, qu'un signe, comme + ou — et n'a pas encore la signification de racine carrée de m. D'ailleurs, pour le moment, cett racine n'existe pas puisque m n'est pas carré parfait.

C'est cet ensemble de deux nombres rationnels ainsi représenté qu'on appellera nombre quadratique. Comme les règles de calcul de ces nombres dépendront de m, on voit qu'il y a une infinité de systèmes de nombres quadratiques, suivant les valeurs de m. Chacun de ces systèmes s'appelle un corps du second degré ou quadratique. Le corps qui correspond à l'entier m sera désigné par C(/m). D'ailleurs deux corps C{\/m) et C(v/m') sont identiques si

—, est le carré d'un nombre rationnel. En particulier la considération des corps où m ^=^ — A:^ (■kpfdz i) est inutile; tous ces corps sont identiques au corps C(v/ — i). Nous ne comparerons et ne combinerons entre eux, dans ce chapitre, que des nombres appartenant à un même corps.

Voici quelques simplifications d'écriture :

Le nombre /> -H i ^m s'écrit p -f- /'"

p H- ( — q /m) » P — q \/in

O -\- q \/m n q y/wi .

On convient que p -h o/m se réduit à p.

De cette façon tout corps quadratique contient l'ensemble des nombres rationnels. Par suite toutes les définitions que nous allons donner sur les nombres quadratiques seront soumises à cette restriction de ne pas entraîner de contradiction quand on les appliquera à des nombres rationnels. Pour abréger nous ne le ferons pas remarquer explicitement, le lecteur le vérifiera dans chaque cas.

39. Egalité des nombres d'un même corps. Opérations sur ces nombres. — On dit que p + q \/m = p' -h q' \/m lorsque p =: p' et q = q'. Deux nombres quadratiques égaux à un troisième sont égaux entre eux. La somme des nombres

p-h gy/m, p' -+- qWm, ...

est, par définition,

L'addition est ainsi commutative, associative et unipare, d'où l'on déduit que dans une somme on peut changer l'ordre des termes ou remplacer plusieurs d'entre eux par leur somme.