DEFINITION DES NOMBRES QUADRATIQUES IO
Les deux nombres p -^ q\fni et — p — q\/m sont dits égaux mais de signes contraires. Leur somme est zéro.
La différence entre p -h q \/m et p' -]- q' \/m est, par définition
Ajoutée au second nombre p' H- q' \/m elle reproduit le premier, et c'est le seul nombre jouissant de cette propriété. Le produit de deux nombres
est, par définition, le nombre
pp' -f- mqq' -\- {pq' -hp'q)s/m (')•
Le produit de plus de deux nombres se définit comme pour les nombres rationnels.
On démontre facilement que la multiplication ainsi définie est commulative et associative ; de plus qu'elle est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. On en déduit les mêmes conséquences que pour les nombres rationnels, en particulier le calcul des polynômes.
40. Nombres conjugués. Norme. — Les deux nombres p -+- qs/în et p — q^m sont dits conjugués. Un nombre réel est son conjugué à lui-même et réciproquement.
On appelle norme d'un nombre le produit de ce nombre par son conjugué
N(p -hq\/m) = (p + q\/m) (p — ^V^) — p^ — mq^.
On voit que toute norme est un nombre rationnel. Deux nombres conjugués ont la même norme. Théorème L — Quand un nombre est nul sa norme est nulle et réciproquement.
En efi'et si l'on a
p -]- q\/ni = o on a p =: q := o, donc p^ — 019^ = 0.
Réciproquement si p^ — mq^ = o c'est que p = q = o. En efiet,
(1) C'est-à-dire ce qu'on obtiendrait si au lieu de supposer que vm est un signe on supposait que ce fût la racine carrée de m.
si l'on avait y pzf o on aurait m = ^ ce qui est impossible puisque
m n'est pas carré parfait (I. i36). Donc q = o, alors p = o aussi et par suite p -\- q\/m = o.
Théorème II. — La norme d'un produit de facteurs est égale au produit des normes de ces Jacteurs.
Il suffit de le vérifier pour deux facteurs, c'est-à-dire de vérifier que :
iPP' + 'nqq'Y - 'n{pq' -f- qp'y = {p' - mq') {p'' - mq'^)
ce qui est immédiat.
Théorème III. — Pour qu'un produit de Jacteurs soit nul il faut et il suffit que l'un des Jacteurs le soit. Pour que le produit soit nul il faut et il suffit que sa norme le soit. Or cette norme est le produit des normes des facteurs. Donc il faut et il suffit que l'une de ces normes soit nulle, c'est-à-dire que l'un des facteurs le soit.
Corollaire. — La multiplication des nombres quadratiques différents de zéro est une opération unipare.
En effet de (')
aP = ay
a, ^, y, représentant des nombres quadratiques, on tire
c'est-à-dire, a étant différent de zéro :
ji — Y = o ou
41. Division. — Le rapport de p -^ q/m k p' -h q' /m est un nombre qui multiplié par p' -+- q' y/m reproduit p + q [/m.
Si p' + q' \/in = o et que p -+- q^ ;zf o ce rapport n'existe pas. Si p' -h q' v'm=p -\- q\/m = o ce rapport est indéterminé. Supposons enfin p' -+- q'\/m^ o. En appelant x -h y)/m le
(^) Ici et dans ce qui va suivre nous représenterons souvent un nombre quadratique par une seule lettre qui sera une lettre grecque.
DEFINITION DES NOMPRES QUADRATIQUES I09
rapport inconnu ; on doit avoir
p -\- q\/m = (p' -h qWm) {x -h y /m)
c'est-à-dire
p'x -V- m(]ly = p q[x -H p'y = q.
Le déterminant de ce système de deux équations p''^ — mq'^
n'est pas nul car c'est la norme du diviseur p -h q' \/m qui n'est
pas nul par hypothèse. Ce système a donc une solution et une
seule
PP' — "iqq' ■ "^ — p'2 mq'-"
„ P'9 — P7' J — p'^ — mq'^'
11 y a donc un rapport et un seul, à savoir :
PP — ^nqq pq — pq j p'^ — mq'^ ~^ p'^ — mq''^^
Théorème. — Le rapport de deux nombres du corps C(v/m) ne change pas quand on multiplie ces deux nombres par un même troisième.
Soient a et jS deux nombres du corps C(v/m) et /. leur rapport de façon que
et == .8X.
On en déduit, â étant un autre nombre du même corps :
a8 = (.SX) 3
ou
cr8 = (pô)X.
Donc X est le rapport" de ac? à |3o^.
42. Puissances d'un nombre. — Les puissances à exposant entier positif, négatif ou nul d'un nombre se définissent comme celles d'un nombre entier (L i34, i35). Par exemple le carré de P -^ q y/'" est égal à
{p + q\/in) {p-hq/m) OÙ
p2 4-. mq^ H- 2pq \/m ,
IIO THEORIE DBS NOMBRES
En particulier le carré de /m s'obtient en faisant p = o, q = i dans la formule précédente, il est donc égal à m.
Les règles de calcul données pour les puissances des nombres rationnels s'appliquent à celles des nombres quadratiques, c'està-dire qu'on a
OÙ a, /3, ... désignent des nombres quadratiques d'un même corps ; m, n, ... des entiers quelconques.
43. Racine carrée d'un nombre rationnel. — Tout nombre rationnel a deux racines carrées égales mais de signes contraires. Soit d'abord un nombre entier m différent de zéro. S'il est carré parfait on sait qu'il a deux racines entières. Sinon il a les deux racines ± /m.
Il n'en a pas d'autres, car pour que {p + q \fnif = m il faut que
p^ ■+ mq^ = m et ipq = o.
La seconde égalité donne p = o ou q = o. Si /) = o la première égalité donne ç* = i d'où q = ± i et par conséquent les deux racines ± v^m. Si <jr = o la première égalité, donne p^ = m qui est impossible.
Soit ensuite un nombre fractionnaire ~ différent de zéro. On
trouve facilement qu'il a les deux racines =-t — •
Enfin le nombre zéro n'a qu'une racine qui est zéro, On peut dire qu'il a deux racines égales.
44. Equation du second degré à coefficients rationnels, — La* méthode donnée au n° 30 s'applique maintenant à toute équation du second degré à coefficients rationnels (qu'on peut supposer entiers). Soit
ax^ -{- bx -\- c = o (a, b, c entiers).
