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Réciproquement, tout nombre quadratique p + q^in est racine d'une équation du second degré à coejficients entiers dont tautre racine est le nombre conjugué. Car p ■+■ qs/m et p — ç/m sont racines de l 'équation

x^ — 2/3X -+-/)■ — inq^ = o.

En chassant s'il y a lieu les dénominateurs des coefficients 2/) et p* — mq^, on obtient une équation à coefficients entiers.

45. Théorème. — Sif{x, y, ...) est une expression rationnelle à coefficients rationnels de x, y, ... les deux nombres

f{a-hb\/m,a'-{-b's'm,...) et f(a—b\/m,a' — bWrn,...)

(a, 6, a', 6', ... rationnels) sont conjugués.

Il, suffit de vérifier ce théorème lorsque f{x,y, ...) est une somme, une différence, un produit de deux facteurs, un rapport. La vérification est immédiate.

Application. — Deuxième démonstration du théorème II {n" 40). Soit

On en déduit

(p - qs/m) ip' - qWm) = P - Q/m.

Donc, en multipliant membre à membre

N(p H- gv/m) . N(p' 4- q's/^) = N.(P -+- Qy/m).

46. Ordre de grandeur de deux nombres d'un même corps quadratique réel. — Le corps C {\/m) est dit réel lorsque m est positif. Lorsque m est négatif le corps C(v/m) est dit imaginaire ou complexe. (Le cas de m =z o est hors de question puisque m est supposé n'être pas carré parfait).

Nous allons définir l'ordre de grandeur des nombres d'un même corps réel.

Nous rappellerons d'abord quelques théorèmes classiques relatifs aux inégalités entre nombres rationnels.

I. — De a <Ch on déduit a -h c <^ b -\- c. En particulier (pour c = — 6),

de a <; 6 on déduit a — 6 «< o.