III. —De a<b a' <:b' a" < b

on déduit a a' a' ... < b b' b" ...

En particulier de a <ib, a > o, 6 ^ o

on déduit a" <; 6".

Réciproquement de a" ■< fc". û > o, fe >» o

on déduit a <i b.

Ces principes permettent de résoudre la question suivante : Soient p et q des nombres rationnels, m un carré par J ail, trouver le signe de p -\- q \/m sans calculer v/m.

Pour cela considérons le produit

{p -\-q /m) {p — q >/m) = p^ — mq*.

Si p2 — uiq2 -^ Q^ (>'egj; qyg p -\~ q /m et p — q\/m ont le même signe, ce signe est celui de leur somme 2p. Donc :

si p^ — mq^ > o /e signe de p -\- q \/m est le même que celai de p.

Si /)* — mq^ <; o, c'est que pH-ç/nï et p — q\/ni ont des signes contraires.

DÉFINITION DES NOMBRES QUADRATIQUES Il3-

Donc p ■+■ q^/m et — p -+- q\/m ont le même signe, ce signe est celui de leur somme aq^m. Donc :

si p^ — mq^ <io le signe de p + q v/m est le même que celui de q.

Ces théorèmes vont être étendus sous forme de définition aux nombres d'un corps quadratique réel.

Soit m un nombre rationnel positij (non Jorcêment entier)^ non carré parfait.

Si p^ — mq^ ^ o le signe de p -h q \/m est, par définition celui de p.

Si p^ — mq' < o /e signe de p ->r q^m est, par définition celai de q.

On peut maintenant définir l'ordre de grandeur de deux nombres d'un même corps quadratique réel. On dit que a > jS lorsque a — /5 > o.

47. Théorème. — La somme de deux nombres positifs est positive, la somme de deux nombres négatifs est négative.

Soient p -\- q\/m et p' -\-q' \fm deux nombres positifs, je dis que

est aussi positif (').

On a l'une des deux hypothèses suivantes :

A) p^ — mq^ > o et p > o

B) p^ — mq^ ■< o 9 > o

et l'une des deux suivantes ~

A') * p'> — mq'^ > o p > o

B') p'* — mç" < o g' > o

et il faut en déduire l'une des conclusions suivantes :

C) {p + P'Y — in'\q + q'Y > o et p + p' > o

Les combinaisons des hypothèses A, B avec A', B' sont au nombre de quatre, à savoir : A et A', A et B', B et A', B et B'.Mais

(^) On aurait une démonstration plus simple que celle qui va suivre en considérant des nombres p -\- q \Jnï',p' + q' \/m' où m' différerait peu de m et serait carré parfait. Mais on retomberait ainsi dans les considérations de continuité que nous voulons éviter dans ce chapitre.

Cabbm. — Théorie des nombres, t. II. 8

Il4 THÉORIE DBS NOMBRES

la combinaison B et A' se ramène à A et B' par l'échange de p, avec p', et de q avec q'.

De même la combinaison B et B' se ramène à A et A' par le changement de m en — et l'échange de p avec q, et de p' avec q' . Reste

donc à considérer les combinaisons A et A' et A et B'. 1° Supposons A et A'. On a

(i) p"- > mq^

(2) p" > mq*

d'où, par multiplication [m étant positif)

d'où, pp' étant positif,

pp' >m\ qq' I et, ajortiori,

(3) pp' > mqq'.

Alors, par combinaison de (i), (a) et (3) on a

/)» 4- /)'* -h 2/>/)' > m (q2 -f- g''» -h ^qc^) ou

D'ailleurs on a aussi /) + p' > o. Donc on a démontré G. 2° Supposons A et B'. La démonstration est analogue. Nous laissons au lecteur le soin de la reconstituer.

Théorème. — De a >• |3 e/ |3 > 7 on déduit « > 7. En effet on a

a — p>o et ^ — Y>o,

d'où, d'après le théorème précédent

ou

48. Théorème. — Le produit de deux nombtes de même signe est positif, le produit de deux nombres de signes contraires est négatij.

La seconde partie du théorème se ramène à la première par le

DÉFINlTlOrS DES NOMBRES QUADRATIQUES Il5

changement de signe de l'un des facteurs. Reste à démontrer cette première partie. Soit

(p -4- q s/m) {p' -+- q \/m) = pp' -h mqq' -h (pq' -+- p'q) \/m .

Il faut distinguer trois cas suivant les signes des normes des facteurs.

Supposons d'abord les normes des facteurs positives, alors les signes des facteurs sont ceux de p et de p' . Donc p et p' ont le même signe. La norme du produit est positive (n° 40). Le signe du produit est donc celui de pp' -+- mqq'. Or on a

p^ >> mq^ p'^ > inq'^ d'où

d'où

(pp' — mqq') (pp' ■+- mqq') > o.

Les deux facteurs pp' — mqq' et pp' -+- mqq' ont donc le même signe et ce signe est le même que celui de leur somme ap/)', donc ce signe est H-, donc pp' h- mqq' est positif.

]\ou8 laissons au lecteur le soin d'examiner les autres cas.

Les principes relatifs aux inégalités entre nombres rationnels que nous avons rappelés au n° 46 s'appliquent aux nombres quadratiques d'un corps réel. Les énoncés subsistent en supposant que a, b, ... représentent des nombres quadratiques d'un même corps.