LES FRACTIONS DECIMALES II
Cette décomposition n'est possible que d'une seule façon. Pour le voir nous nous appuierons sur la notion de partie entière d'un nombre rationnel. On appelle /)ar//e entière d'un nombre rationnel
T, un entier q satisfaisant aux conditions :
Ces conditions définissent un entier g et un seul car elles reviennent à :
Donc q n'est autre chose que le quotientàune unité près de a par 6. Théorème. — L'expression
lO lOO ■" 10*"
ou aj, Gi, ... a,n sont certains des entiers o, i, ... g est plus petite que I.
En efîçt elle est au plus égale à
10 lOO 10*"
ou
ou
ou enfin
lO lOO 10"
10 lO lOO *" 10"'~* lO''
Je dis maintenant que la décomposition d'un nombre décimal
^ ' 10"> ^ lO lOO lO"»
n'est possible que d'une seule manière.
En eflFet
lO lOO *" 10"*
Il8 THÉORIE DES NOMBRES
étant plus petit que i, on a
Donc >j est la partie entière de — ^, donc il est déterminé. Ensuite de (i) on tire
— -—i — loq = ai -\ h ... H =in*
IQW— 1 i lO ^ 10"* *
Donc ai est la partie entière de ,„! — 109, etc.
On voit ainsi une analogie entre fractions décimales et nombres entiers. Tout entier positif peut se mettre, et d'une seule façon, sous la forme
(2) (a„ X 10») -h (a„, X 10"-^) -+- ... + (ai X 10) -h ««
Og, ai, ... On étant certains des entiers o. i, 2, ... 9.
De même toute fraction décimale positive peut se mettre, et d'une seule façon, sous la forme
(3) (a„ X 10") H- (a„t X lo"" ») -h ... + a^ + («- 1 X lO"»)
les a étant encore certains des entiers o, i, 2, ... 9.
Le nombre entier (2) s'écrit, dans le système de numération décimale (I. 44).
De même le nombre décimal (3) s'écrira
OnCn-i ••• a„ a j a 2 ... a,„ en marquant par une virgule le chiffre des unités.
En somme on a décomposé le nombre en unités des différents ordres qui sont, d'une part, des unités simples, des dizaines, des centaines, etc., et de l'autre des dizièmes, des centièmes, etc. Il y a moins de dix unités de chaque ordre. Les chiffres qui suivent la virgule sont dits chiffres décimaux.
50. Théorème. — Si dans un nombre décimal on néglige un certain nombre de chiffres décimaux à la fin du nombre, ter-
LES FRACTIOINS DECIMALES
reur commise est plus petite quune unité du dernier ordre non négligé.
Soit le nombre abcd, efgh dans lequel nous négligeons g et h.
L'erreur commise est —5- + -r-— . Elle est au plus égale à 1000 lOOOO "^ °
ou
10 — 1 ÎO — 1
lOOOO
100 lOCO
lOOOO
donc plus petite que — •
Comparaison de deux nombres décimaux. — Soient deux nombres décimaux écrits à la façon précédente. S'ils ne sont pas identiques ils ne sont pas égaux. Lequel est le plus grand? Pour le savoir on compare les parties entières. Si elles sont inégales, celui des deux nombres qui a la plus grande partie entière est le plus grand. Si elles sont égales on compare les chiffres des dizièmes. S'ils sont inégaux celui des deux nombres qui a le plus grand est le plus grand. S'ils sont égaux on compare les chiffres des centièmes et ainsi de suite. Gela résulte du théorème précédent.
Addition, soustraction, multiplication, division des ^ombres décimaux. — On voit immédiatement que pour ajouter ou pour soustraire des nombres décimaux il n'y a qu'à appliquer les mêmes règles que pour les entiers (I, 5o et 64)f en commençant l'opération par les unités d'ordre le plus bas.
Pour multiplier deux nombres décimaux on applique la règle suivante, facile à démontrer : onjait le produit des entiers obtenus en supprimant les virgules dans les facteurs donnés, puis on introduit une virgule dans ce produit de Jaçon quil ait autant de chijfres décimaux que les facteurs en ont à eux deux.
51. Division des nombres décimaux. Fractions ordinaires réductibles en décimales. — On voit que le résultat d'addi-
lions, soustractions, multiplications effectuées sur des nombres décimaux est toujours un nombre décimal. Il n'en est pas de même pour la division. Soit par exemple à chercher le rapport de 6,48i à 8,1245. Il est égal à
648 I . 81245 1000 * lOOOO
c'est à-dire à
64810 8ia45"
Cette fraction ordinaire peut-elle se réduire à une fraction décimale. La réponse à cette question est donnée par le théorème suivant :
Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction ordinaire soit égale à une fraction décimale est que, étant réduite à sa plus simple expression, son dénominateur ne contienne que les facteurs premiers 1 etb,
La condition est nécessaire, car si la fraction irréductible r est
égale à la fraction décimale — ^, 6 est un' diviseur de 10", donc ne
contient que les facteurs premiers de 10", c'est-à-dire 2 et 5.
La condition est suffisante car la fraction ordinaire -ôtr est égale
20-^ . a . . ' , 5*-? . a . ^ . a 5 — si |3 > a et a — si ce ^ p.
On voit bien alors que le rapport de deux fractions décimales n'est pas, en général une fraction décimale.
En particulier le nombre trouvé plus haut ^ — r-c n'est pas ré-
1 3963 ductible en décimales car sa plus simple expression est |g^, •
