Valeur approchée d'un nombre rationnel à — ^ près
Soit le nombre rationnel r . Donnons-nous un entier positif ou nul n, il existe un entier k et un seul tel que
APPROXIMATION A -- . -— , ... PRES l2I
lO lOO'
En effet si n ^ o, nous retombons sur la définition de la partie entière de r. Si n > o, multiplions les inégalités précédentes par lo", nous obtenons les inégalités équivalentes
, , . ., j a . lo"
et nous voyons que k est la partie entière de — r — •
— - s'appelle la valeur approchée à — - près de r por défaut.
^j— s'appelle la valeur approchée à — - près de t par excès.
Lorsqu'on dit valeur approchée sans spécifier si c'est par défaut ou par excès, il est sous-entendu que c'est par défaut.
i5 I Exemple. — Soit à trouver la valeur approchée de — à près.
Divisons i 5oo par 7, le quotient est 214. Donc la valeur à un cen-
tième près par défaut est — ou 2,\l\, et la valeur par excès est 2,i5.
53. Développement d'un nombre rationnel en décimales. Périodicité des chiffres. — Donnons-nous un nombre rationnel,
i5 par exemple — et cherchons ses valeurs approchées successivement
à une unité, un dixième, un centième, etc., près. Il faut pour cela diviser par 7 successivement les entiers i5, i5o, i5oo, etc. On dispose ordinairement l'opération de la façon suivante :
Les valeurs cherchées sont 2;2,i;2,ii4;2,i42;...
La suite
s'appelle le développement en décimales de — . Le nombre — s'appelle le générateur de celte suite.
Il est évident qu'un nombre rationnel donné n'a qu'an développement en décimales. Réciproquement nous allons voir qu'un développement décimal donné ne peut avoir qu'un générateur, s'il en a. Mais nous allons voir aussi que pour qu'il en ait il faut une condition.
Théorème. — Dans le développement en décimales d'un nombre rationnel la suite des chiffres est périodique à partir de l'un d'eux (').
Nous distinguerons trois cas.
i" Cas. — Le dénominateur du nombre rationnel, supposé réduit à sa plus simple expression ne contient ni le facteur premier 2 ni le fadeur premier 5.
Soit la fraction irréductible r. Le dénominateur 6 étant premier
avec 10 on sait que les restes par rapport au modube 6 des entiers
10 10* lo' ...
forment une suite périodique. On voit immédiatement, a étant premier avec 6, qu'il en est de même des restes des entiers .
Or ces restes sont les restes successifs de l'opération qu'il faut faire pour réduire r en décimales. Les restes se reproduisant périodiquement il en est de même des chiflFres au quotient.
Le théorème est donc démontré. On voit que dans ce cas la période commence immédiatement après la virgule, et que le nombre de termes de la période est égal à l'exposant de 10 par rapport à 6. 11 est indépendant de a.
2^ Cas. — Le dénominateur de la Jr action supposée réduite à sa plus simple expression contient des facteurs premiers 2 ou 5, et il
en contient d'autres. Soit la fraction irréductible "., , a et /3
n'étant pas nuls tous les deux. Soit pour fixer les idées a > jS. On a
2"5^6~ io«6 ■
(*) RoBERTSOK, Phil. trantact., 1764.
Bkrnoulli, Mém. de l'Ac. de Berlin, 1771.
PERIODICITE DES CBIFFRES
Le développement de ^ se déduit de celui de -^ — en reculant la virgule de a rangs vers la gauche. Or le développe-
ra— p
ment de -^—, — est, d'après ce qu'on a vu dans le premier cas,
périodique, la période commençant immédiatement après la virgule. Donc celui de -^-0- l'est aussi, et la période commence, au
plus tard, a rangs après la virgule. Nous verrons tout à l'heure qu'elle commence juste à cette place.
3* Cas. — Le dénominateur de la fraction supposée réduite à sa plus simple expression ne contient que les facteurs 2 et b. Nous avons vu (n" 51) que dans ce cas le développement est limité. On peut dire qu'il est illimité en le complétant par une suite indéfinie de zéros. Par suite il est encore périodique.
54. — Telle est la condition à laquelle satisfait le développement décimal d'un nombre rationnel. Nous allons montrer que réciproquement tout développement gui satisfait à cette condition admet un nombre générateur et un seul, sauf une exception qui sera précisée plus loin.
Pour démontrer ce théorème nous pouvons supposer que la partie entière de la suite est zéro, car pour trouver le nombre générateur de ab...l, aiaz ... il suffit de trouver celui de o, GiU^ ... et de lui ajouter l'entier ab.,.l.
Nous distinguerons trois cas.
i^f Cas. — Le développement est limité. Le théorème est évident. Par exemple 0,376 admet un nombre générateur et un seul qui
est -rr- ou ë • 1000 o
2' Cas. — La période commence immédiatement après la virgule. (Développement immédiatement périodique). Soit le développement o, airtj...an ... (La notation a,a2..,an représente une
suite périodique de période aiaî...an et commençant à Oi).
Pour que r soit générateur du développement précédent il faut
124 THÉORIE DES ?(OHBRES
et il suffitque a et 6 soient tels qu'en divisant io"apar b le quotient soit aia2...a'* et le reste a, ce qui s'exprime par les conditions
(4) io"a = (aiaî...a„ X b) -+- a
On tire de (4)
a aiai...a,i aiai...a„
[n chiffre» 9 au dénominateur).
Réciproquement si r a celte valeur la condition (4) est satisfaite.
La condition (5) l'est aussi pourvu que ai32...a„ < 10" — i, c'est-à-dire pourvu que le développement ne soit pas composé que de chiffres 9.
Donc le développement o, aia2...a„ ... a un nombre générateur
et unseul^ sauf si ai, 02, ... a„ sont tous égaux à q. Le développement 0,99 ... n'a pas de nombre générateur..
3® Cas, — La période ne commence pas immédiatement après la virgule. (Développement non immédiatement périodique). Soit par exemple le développement 0,49397 ... de période 397. Ce
développement a évidemment un nombre générateur et un seul, à savoir le nombre 0,49 augmenté du générateur de 0,003973...
Ce dernier est — ^^ .
Donc le développement proposé a un générateur et un seul qui
est égal à
49 ■ 397 loo 99900
ou
ou
ou enfin
PERIODICITE DES CHIFFRES 12^
Le raisonnement suppose encore que la partie périodique ne se compose pas que de 9. C'est le cas d'exception annoncé.
Nous pouvons démontrer maintenant que dans le deuxième cas du n° 53 la période commence effectivement a rangs après la virgule. Car nous voyons qu'en supposant que la période commence «' rangs après la virgule, il y aura dans la fraction (6) «' zéros au dénominateur. Ce dénominateur contient donc les facteurs 2 et 5 tous les deux à l'exposant a'. Maintenant si l'on réduit la fraction (6) à sa plus simple expression il y aura au plus un des deux facteurs 2, 5 qui disparaîtra. Car pour qu'ils disparaissent tous les deux il faudrait que le numérateur fût terminé par un zéro. Gela exigerait que la période et la partie non périodique fussent terminées par le même chiffre. Mais si cela était, la période commencerait au moins un chiffre plus avant qu'on n'a supposé.
Exemples I. — Le nombre - donne naissance à un développement
immédiatement périodique o, 428571...
On a d'ailleurs
II. — Le nombre rr dont le dénominateur contient le facteur 2 à
l'exposant 2, mêlé avec un autre facteur premier donne naissance au
dévoloppement non immédiatement périodique 0,4772... et l'on a
99ÔÔ "~44"
Remarque. — Si au lieu de développements décimaux on considérait les développements dans un autre système dé numération, les énoncés précédents subsisteraient en remplaçant 10 par la base du système, et les facteurs 2, 5 par les facteurs premiers de cette base.
55. Valeur approchée d un nombre quadratique réel à — ^ près. — La définition est la même que pour le nombre
136 THÉORIE DES TfOMBRES
rationnel. La valeur à — ^ par défaut d'un nombre quadratique réel p -h g vm, est un nombre — ^ {k entier) tel que
il) ,-^</'-^9v/'"<-T^-
(Nous avons écrit dans la première inégalité le signe < de façon que la définition s'applique au cas particulier où ^ = o et où le nombre quadratique se réduit à un nombre rationnel, mais il est évident que si çf ;zf o, c'est-à-dire si le nombre est un vrai nombre quadratique, l'égalité ne peut avoir lieu).
Gomme pour le nombre rationnel, la recherche de la valeur à
— ;i près se ramène à celle de la valeur à une unité près. Car en
multipliant les trois membres des inégalités (7) par 10" il vient
D'ailleurs la valeur à une unité près d'un nombre quadratique s'appelle encore la partie entière de ce nombre.
56. Recherche de la partie entière d'un nombre quadratique. — Examinons d'abord le cas particulier où p = o et soit à trouver la partie entière de q )/m. On a à trouver un entier k satisfaisant à
k <^ q v/m < fe -j- 1
inégalités équivalentes à
ou
k^ < E{qhn) < (/c + 1)2
Donc k est la racine de ^{q^m) k une unité près.
Passons au cas général et soij à trouver la partie entière de p -h q ^m. Pour cela cherchons la partie entière de p soit h, et celle de q s/m soit k. On a
Donc
li en résulte que la partie entière de p -\- q \fm est h ■+- k ou h -h k -+■ I suivant que A-hA'-4-i >/> + </ v'm ou que h-\-k-[-i<^p-i-q s/m.
57. Développement d'un nombre quadratique réel en décimales. — La définition est encore la même que pour le nombre rationnel. Soit le nombre V2 . Les valeurs à une unité, un dixième, un centième, etc., près par défaut sont les nombres
La suite indéfinie i,4i4 ••• est le développement en décimales de /a .
Il est évident qu'un nombre quadratique donné n'a qu'un développement en décimales. Réciproquement, à un développement décimal donné ne peut correspondre qu'un nombre quadratique, s'il en correspond un. Mais il n'en correspond pas toujours. Nous remettons la démonstration de ces théorèmes à plus tard.
I. — Si le dénominateur' d'une fraction est une puissance d'un nombre premier différent de 2 et de 5, si de plus la période du développement décimal engendré par celte fraction a un nombre pair -in de cliiifres ; la somme de deux chiffres distants de n rangs dans la période est égale à 9 et la somme des restes correspondants est égal au dénominateur de la fraction.
. II. — Si 10 est racine primitive de p^ {p = nombre premier ;2f 2
et 5), les périodes de toutes les Iraclions irréductibles ayant p* comme dénominateur, se déduisent de l'une d'elles par permutation circulaire. La période de — (a premier avec p) se déduit de celle de — en la commençant par son (r + i)ème chiffre, r étant l'indice de a. Il en résulte que l'entier formé par la période de — jouit de cette
propriété curieuse qu'en le multipliant par les entiers positifs plus petits que p" et premiers avec lui les produits obtenus se déduisant de n par une permutation circulaire de ses chiffres.
I" Exemple. — On a - = 0,142807... et
2* Exemple. — On a — = 0.052631578947368421...
et
