CHAPITRE VII

DÉFINITION GÉNÉRALE DU NOMBRE (i)

58. On a vu (n° 54) qu'un développement en décimales ne correspond qu'à un nombre rationnel et réciproquement. Ainsi

— a pour seul développement 2,142867 ... et, réciproquement, ce

i5 développement a pour seul nombre générateur — . On peut donc

convenir d'écrire

Le développement d'un nombre rationnel n'est pas quelconque ; il est périodique, à partir d'un certain chiffre, la période ne se composant pas que de 9. On se trouve amené à généraliser et à considérer des suites dechiff"res décimaux quelconques périodiques ou non.

On appelle nombre une partie entière (qui peut être nulle) suivie d'une suite indéfinie de chiffres décimaux. Donner un nombre c'est donner le moyen de calculer la suite indéfinie de ses chiff'res. Trois cas se présentent : 1° La suite indéfinie est périodique à partir d'un certain chiffre^ la période ne se composant pas que de g. C'est le cas qu'on vient d'examiner, on dit que la suite définit le nombre

(1) On doit remarquer que la définition générale du nombre n'est nullement nécessaire dans les théories qui font l'objet de ce volume. On pourrait se borner à celle des nombres quadratiques donnée plus haut. Mais cela n'irait pas sans de grandes difficultés. D'ailleurs, en se plaçant au point de vue historique on sait que la notion générale de nombre était acquise, sinon complètement élucidée avant qu'on ait distingué les différentes espèces de nombres.

Gahbi). — Théorie des nombres, t. II. q

l3o THÉORIE DES NOMBRES

rationnel générateur ; 2° La suite -indéfinie n'est pas périodique. ]\ous dirons qu'elle définit un nombre irrationnel. L'existence d'un tel nombre n'est pas évidente. Il n'est pas évident qu'on puisse former une suite indéfinie de chiffres qui ne soit pas périodique. Mais cela sera démontré plus loin.

3° La suite indéfinie est périodique, la partie périodique ne se composant que de g. — Nous dirons qu'elle définit le nombre rationnel décimal obtenu en supprimant cette partie périodique et augmentant d'une unité le dernier chiffre de la partie restante.

Par exemple la suite 0,120 ... définit le nombre — • •^ vS 100

11 est facile de voir comment on est conduit à cette convention.

Il suffit d'appliquer à cette suite la règle donnée au n" 54 pour

trouver le nombre générateur bien qu'elle ne s'applique pas. On

trouve ainsi

Mais ce nombre n'engendre pas le développement 0,1299 ..., il engendre le développement o,i3oo... Nous conviendrons que

De celte façon tout nombre décimal a deux développements, son développement ordinaire limité, et le développement obtenu en diminuant son dernier chiffre significatif de i, et le faisant suivre d'une suite indéfinie de chiffres 9.

59. — Nous allons maintenant donner les définitions relatives à l'égalité, à l'inégalité et au calcul des nombres en général. Il est bien entendu que ces définitions, appliquées en particulier aux nombres rationnels devront coïncider avec les définitions données jusqu'à maintenant. Nous nous dispenserons de le faire remarquer lorsque ce sera évident.

Egalité. — On dit que deux nombres sont égaux dans deux cas : 1° lorsque leurs développements décimaux sont identiques ; 2" lorsque l'un d'eux est limité et que l'autre s'en déduit en diminuant le dernier chiffre significatif de I et le faisait suivre d'une suite indéfinie de chiffres 9.

Inégalité. — Dans tout autre cas les deux nombres sont dits

OÉFINITIO:* GÉNÉRALE DD NUMBRE l3l

inégaux et pour savoir lequel est le plus grand on applique la règle du n° 50 laquelle devient ici une définition.

Exemples: i° Soient les nombres 3,17... et 3, 14... Sans connaître les chiffres non écrits on peut affirmer que le premier nombre est plus grand que le second.

2° Soient les nombres 3,i5... et 3,i/i.... Le premier nombre est supérieur au second, sauf le cas où le premier serait 3,i5 et le second 3,1^999... Dans ce cas ils seraient égaux.

Théorème. — Les inégalités a <i b et b <::^c entraînent a <ic. C'est évident.

60. Addition. — Définir un nombre c'est définir sa partie entière et ses n premiers chiffres décimaux quel que soit n. Donc pour définir la somme de deux nombres a et 6 il nous suffit de définir la partie entière et les n premiers chiffres décimaux de cette somme quel que soit n.

Lemme I. — Si une suite d'entiers est telle que chacun soit égal ou supérieur au précédent ; si de plus n'importe lequel de ces entiers est inférieur à un nombre fixe A ; alors, à partir d'un certain rang, ces entiers sont égaux entre eux. Leur valeur commune est injérieure à A. C'est évident.

Lemme II. — Si une suite de nombres rationnels, ayant même dénominateur est telle que chacun soit égal ou supérieur au précédent, si de plus n'importe lequel de ces nombres est injérieur à un nombre fixe A ; alors à partir d'un certain rang ces nombres sont égaux entre eux. Leur valeur commune est inférieure à A.

■^ . fll «2 . , , . ,

Car soit -j » ^, ••• cette suit« ; a,, a-i, ... et a étant entiers et de

plus (/étant positif. Les entiers a^, a^, ... sont tels que chacun d'eux soit égal ou supérieur au précédent et, de plus, n'importe lequel de ces entiers est plus. petit que kd. On est ramené au lemme I.

Lemmes III et IV. — On a deux autres énoncés en échangeant dans les précédents les mots « inférieur » et « supérieur >. .

Ceci posé, soient les deux nombres :

a := 1,73206080 ... et h = i,liili2ï356 ... {^).

(^) On suppose, bien entendu, qu'on a une règle pour prolonger ces développements indéfiniment.

l32 THÉORIE DES NOMBRES

Nous voulons définir la partie entière et les six premiers chiffres de leur somme. Considérons

oj -+- 6, = 1,73

Oç -f- 65 = 1,732060 -h 1,4 1^2 1 3 =3,146263 a, -1- 6, = 1, 7320608 -f- i,4i42i35 = 3 1462643 a^ -+- èg = 1, 73206080 ■+■ 1, 4 1 421 356 = 3.14626436

et ne gardons dans ces sommes que les six premiers chiffres décimaux. Nous obtenions la suite

Tous ces nombres ont même dénominateur 10* et chacun d'eux est égal ou supérieur au précédent. Ils sont tous plus petits que

Donc à partir d'un certain rang ils ont une valeur commune. C'est cette valeur qui, par définition, constitue la partie entière et les six premiers chiffres décimaux de la somme. C'est ici 3,146264, puisque cette valeur est atteinte par le huitième terme de la série et que d'autre part nous savons que la valeur commune est plus petite que 3, 146266. Il est facile d'énoncer une règle à ce sujet. Appelons, comme plus haut, a„ et bn les nombres décimaux obtenus en arrêtant les développements de a et 6 après le n' chiffre, c„ le nombre analogue pour la somme.

Si les (n -h i)^*"" chiffres décimaux de a et b ont une somme inférieure à Ç) on a c„ = a„ + 6„. Si les [n -+- i)^"»'"* chiffres décimaux de a et b ont une somme supérieure à g on a

c„ ^ a,, + fcn -i- — H •

Si les [n -+- lY"^"^ chiffres décimaux de a et b .ont une somme égale à 9, on considère les {n -+- ^Y""^' chiffres décimaux. S'ils ont une somme inférieure à 9 on a c„ = a« 4- bn. S'ils ont une somme supérieure à g on a

Cn = On -h bn + —.

DÉFIMTIO.N GÉMÉRALE DU -NOMBRE l33

S'ils ont une somme égale à 9 on considère les {n -+- 3)^"'^' chiffres décimaux, etc.

Si les (n + hy"*" chiffres décimaux de a et b ont une somme égale à 9 quel que soit h, on a Cn = a„ ■+- b„, le développement de

c est Cn suivi de g, la somme dans ce cas est égale à c„ -+- — ^ •

La somme de plus de deux nombres se définit d'une façon analogue, ou bien de proche en proche. L'addition est évidemment commulative, associative et unipare.

61 Soustraction. — Soient encore lei deux nombres

a = 1, 73206080 ... et 6 = i,4i42i356 ...

Nous voulons définir la partie entière et les six premiers chilTres de la différence a — b = d. Pour cela nous opérons comme précédemment, avec une légère modification. Nous considérons

Oo — (^ -H 0 = » — 2 = — 1

Og — Ibii -h -^A = i n^^obo —1,414214 =0,317836

a» — (bi -I — ^ ) = 1,73206080 — 1,4142 1357 = 0,31783723

et ne gardons dans ces difTérences que les 6 premiers chiffres. Nous obtenons la suite :

(i) — 1,000000; 0,200000; o,3ioooo ...

On a

«0 < Oi < «2 < ... < Oe < Ot < a» < •••

l34 THÉORIE DES NOMBRES

d'où

ao - [K -i- i)< ai - (^ -^ i^) < ««.- (^^ -+- T^) < - < «6 - (h, + ~) < a, - (6, + :^^ < a, - [b, + 7^) < -

On en déduit que dans la suite (i) chaque terme est supérieur ou égal au précédent et le raisonnement s'achève comme dans le premier cas.

Nous laissons au lecteur : 1° à trouver la règle à appliquer pour teconnaître qu'on a atteint la valeur commune dans la suite (i) ; 2" à démontrer que a — 6 satisfait à l'équatioii x -h b == a et que c'en est la seule solution.

62 Multiplication et division. — Pour définir ab, on suppose d'abord a et 6 positifs et on opère comme pour l'addition. Si les facteurs ne sont pas tous deux positifs on définit leur produit comme étant celui de leurs valeurs absolues précédé d'un signe déterminé par la règle des signes. Si l'un des facteurs est nul le produit est nul, par définition.

La multiplication ainsi définie est commutative, associative, et distributive par rapport à l'addition. Elle est unipare quand aucun des facteurs n'est nul. /

Le produit de plus de deux facteurs se définit de proche en proche.

Pour définir t, on suppose d'abord a et 6 positifs et on opère

comme pour la soustraction, en considérant les rapports

La définition réussit pourvu que 6 ;zf o. Ayant défini t pour a et

b positifs on le définit pour a et 6 quelconques par la règle des

signes. Le rapport 7 satisfait à l'équation bx = a et s'en est la

seule solution.

Resterait, en fait d'opérations élémentaires, à définir l'extrac-

DÉFINITION GÉNÉRALE DC NOMBRE l35

tion des racines. Nous traiterons plus loin une question plus générale.

Les théorèmes du n° 46 relatifs aux inégalités entre nombres rationnels subsistent pour des nombres quelconques. Nous laissons au lecteur le soin de le démontrer (^).

Nombres commeneurables entre eux. — On dit que deux nombres sont commensurables entre eux, lorsque leur rapport est rationnel. Dans le cas contraire les deux nombres sont dits : incommensurables entre eux.

63. Notion de limite. Suites convergentes. — Scitaj, a,, ... a„... une suite indéfinie de nombres. On dit qu'elle croît indéfiniment, ou que a„ croit indéfiniment, ou que o„ tend vers -+■ co , lorsque étant donné un nombre posilij N,on peut déterminer, quel que soit N, un nombre h tel que la condition n > /i entraîne a„ >> N.

On dit que a„ tend vers — oo lorsque — a„ tend vers -+- oo .

i^' Exemple : la suite des entiers i, 2, ... n, ...

2^ Exemple : la suite

la, 2a, ... na, ...

des multiples d'un nombre positif a. En effet, on a

pour

3* Exemple : la suite

des puissances d'un nombre a plus grand que i.

Car en posant a = i -4- a (a >. o) la formule du binôme de Newton montre que a" >» 1 -4- raa.

64. — Soit une suite de nombres a^ 0-2 ... a„ ... On dit qu'elle con-

(^) Nous avons développé en détail les premières définitions sur les nombres irrationnels parce qu« nous y avons adopté un mode d'exposition qui n'est pas celui qu'on prend ordinairement et qui nous a paru plus adapté à une Théorie des nombres. Mais à partir de maintenant nous retombons sur des sujets classiques et nous nous bornerons, suivant le plan général adopté dans cet ouvrage, à un résumé.

l36 THÉORIE DES NOMBRES

verge vers une limite a, ou que ai, ai, ... On ... tendent vers a, ou que a„ tend vers a lorsque, étant donné un nombre positif £, on peut déterminer, quel que soit e, un nombre h tel que la condition n "^ h entraîne

\ an — a \ < e.

i" Exemple : La suite des inverses des entiers -. -, ••• -, ... tend

vers o. En effet on a

pour

2* Exemple : la suite

des puissances d'un nombre positif plus petit que i tend aussi vers zéro. En effet on a

a" < e lorsque I

Or - > I, on est donc ramené au troisième des exemples précédents.

Théobème. — Pour que a„ tende vers a, il faut et il suffît que a — a„ tende vers zéro. C'est évident.

Supposons a„ défini par son développement décimal quel que soit n, et a défini aussi par son développement décimal. Quelle est la condition pour que an tende vers a quand n croît indéfiniment? On démontre facilement que pour que an tende vers a il faut et il suffît que, étant donné un entier positif v, on puisse déterminer, quel que soit v, un nombre h tel que la condition n "> h entraîne que la partie entière et les v premiers chiffres décimaux du déve • loppement de an soient identiques à la partie entière et aux y premiers chiffres du développement de à [ou de l'un des deux développements de a dans le cas où a a deux développements).

Théorème. — Si une suite de nombres a^, a^, ... a„ ... est telle que n'importe lequel d'entre eux est supérieur ou > égal au précédent ; si, de plus, n'importe lequel d'entre eux est inférieur à an nombre fixe A, alors cette suite est convergente et sa limite est inférieure ou égale à A.

DÉFINITION GÉNÉRALE DU NOMBRE iSy

Considérons les nombres formés par la partie entière et les m premiers chiffres décimaux de chaque terme de la suite. Ce sont de» nombres ayant pour dénominateur lo'", et tels que n'importe lequel d'entre eux est égal ou supérieur au précédent, et que n'importe lequel d'entre eux est inférieur ou égal au nombre formé par la partie entière de A et ses m premiers chiffres décimaux. Donc d'après le lemme II du n" 60, à partir d'un certain rang ces nombres sont constants et égaux à un nombre décimal e, a^ aj ... 2^ inférieur ou égal au nombre formé par la partie entière de A et ses m premiers chiffres décimaux.

Ceci étant vrai quel que soit m nous avons défini un nombre

Les nombres de la suite Oi, a^, ... tendent vers a. En effet la condition du théorème précédent est remplie.

Ïhéorèmb. — Si une suite de nombres fli, Oj, ... a^, ... est telle que n'importe lequel d'entre eux est inférieur ou égal au précédent ; si, de plus, n'importe lequel d'entre eux est supérieur à un nombre fixe A; alors cette suite est convergente et sa limite est supérieure ou égale à A.

Se démontre d'une façon analogue.