Valeur d'un nombre à --- près. — La définition est la
même que pour les nombres rationnels (n" 52). La valeur à — ^ par
k défaut d'un nombre a est le nombre — - , (k entier) tel que
On l'obtient en prenant le nombre décimal formé par la partie entière et les n premiers chiffres décimaux de a, sauf lorsque les chiffres qui suivent le .n° chiffre décimal de a sont tous des 9. Dans ce cas il
faut ajouter — ^ à la valeur obtenue par la règle précédente ; la valeur
à — - de a est d'ailleurs égale alors à a lui-même.
i«' Exemple : la valeur à près de l,ill^2... est i,4i4'
3* Exemple : la valeur à — près de 0,239... ^^^ ^'^^ ^^ 0,339... = 0,24.
La valeur à — j^ par excès s'obtient en ajoutant — - à la valeur par
défaut.
Théorème. — La suite des valeurs approchées par défaut à une unité,
un dixième, ... — -, ... près, par défaut, d'un nombre a forme une suite
convergente qui tend vers a. Il en est de même de la suite des valeurs par excès. Il en est de même d'une suite de valeurs approchées tantôt par défaut, tantôt par excès à une unité, un dixième, ... — , ... près.
En effet le n' terme de la suite diffère de a de moins de — - . Or — -
lO" 10"
tend ver» zéro.
Valeur d'un nombre a à 8 près. C'est le nombre de la forme ko {k entier) tel que
/fS <a< (/f -h i)8.
66. Coupures. — Etant donné un nombre a on peut diviser les autres nombres en deux classes, ceux qui lui sont inférieurs et ceux qui lui sont supérieurs. Réciproquement si l'on possède une règle permettant de reconnaître quels nombres sont inférieurs à a et quels sont supérieurs ; a est déterminé. Car en particulier on saura reconnaître
k parmi les nombres de la forme — ^ quels sont ceux qui sont inférieurs
et quels sont ceux supérieurs à a. On aura donc la valeur de a à ——
près quel que soit n.
Ceci posé nous appellerons coupure une règle permettant de distinguer les nombres en deux classes de façon que : i" aucun nombre n'échappe à la classification ; a" n'importe quel nombre de la première classe soit plus petit que n'importe quel nombre de la seconde ; 3" il existe des nombres de chaque classe. On voit qu'une coupure définit un nombre.
On peut supprimer la troisième restriction. S'il n'y a pas de nombre de la seconde classe nous conviendrons de dire que la coupure définit le nombre + » ; s'il n'y a pas de nombre de la première classe nous conviendrons de dire qu'elle définit le nombre — oo. Il ne reste alors que les deux premières restrictions pour qu'une classification soit une coupure.
Mais il est évident que pour déterminer un nombre a, il suffit d'une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire d'une règle
RAPPEL DE THÉORIES d'aNALYSE iSq
permettant de reconnaître les nombres rationnels inférieurs à a et les
k nombres rationnels supérieurs. Car les nombres de la forme — ~ sont
rationnels.
On peut généraliser. On dit qu'un ensemble de nombres est dense dans un intervalle a, h lorsqu'il existe de ces nombres dans tout intervalle contenu dans l'intervalle a, b. Par exemple, l'ensemble des nombres décimaux est dense dans tout intervalle; de même l'ensemble des nombres rationnels ; de même l'ensemble des carrés des nombres rationnels, etc.
Ceci posé, une coupure dans un ensemble dense définit un nombre.
67. Limite supérieure et limite inférieure pour n infini. — La notion de limite se généralise. Soit une suite indéfinie
Nous déBnissons une coupure dans l'ensemble des nombres de la façon suivante. Nous mettons dans la première classe tout nombre a tel qu'on puisse déterminer autant de termes qu'on veut de la série qui soient plus grands que a ; nous mettons dans la seconde classe tout nombre 3 ne jouissant pas de cette propriété. 11 est facile de voir que n'importe quel nombre est ainsi classé et que n'importe quel nombre de la première classe est plus petit que n'importe quel nombre de la seconde. On a donc défini une coupure et par suite un nombre L. C'est ce nombre qui est appelé limite supérieure de a„ pour n infini (•) ; nous le désignerons par la notation lim a„, ou plus simplement par
iim a„. Il peut-être égal à -hoo , cela arrive quand il n'y a pas de nombre de la seconde classe, c'est-à-dire quand il y a un nombre illimité de termes de la série plus grands que n'importe quel nombre. Le nombre L peut être égal à — oc, cela arrive quand il n'y a pas de nombres de la première classe, c'est-à-dire quand, étant donné un nombre quelconque, les termes de la série sont à partir d'un certain rang plus petits que ce nombre.
On définit de même la limite inférieure pour n infini ou lim a„. Il «uffit de répéter ce qui précède en échangeant les mots « inférieur » et « supérieur », a plus grand » et « plus petit », « première classe » et « seconde classe ». On peut encore définir lim o„ en disant que ce
nombre est égal à — lira ( — a„).
(^) Celte notion est due h Cauchy. Elle a été retrouvée et son importance a «té développée par M. Hadamard.
On a lim a„ <^ lim a„. Lorsque l'égalité a lieu, la suite est convergente et sa limite est égale à la valeur commune des deux limites» inférieure et supérieure. Réciproquement, si une suite a^, Oi, ... a„.,. converge vers une limite /, on a
lim a,, = lim a„ = l.
Théorèmes.
suites, on a
Soient a„, Oj, ..
et b^, 6î, ... 6„,
deux
lim {On -h b„) = lim a„ -h lim 6„ lim (a„ -h 6„) = lim a„ -+- Hm 6„
lim (a„ — 6„) = lim a„ — lim bn
lim (a„ — 6„) = lim a„ — lim fe„
lim a„6„
lim lim
= lim af X lim b„
= lim a„ X lim 6„
= lim an X n^iTT
= lim a„ X
Ces quatre dernières en supposant
On bn > O.
lim bn
Théorèmb. — Pour qu'une suite Oi, 02, ... a^ ••• soit convergente il faut et il suffit quà tout nombre positif z on puisse faire correspondre un entier n tel que la condition n' "^ n entraîne \ a„. — «n I <C £•
En effet ceci entraine que la limite supérieure et la limite inférieure de la suite sont toutes les deux comprises entre a„ — e et a„ + s et par conséquent diffèrent de moins de 2c. Comme s est quelconque, elles sont égales.
68. Fonctions de variables. Continuité. — Une fonction d'un nombre variable x est un autre nombre dont la valeur est déterminée quand celle de x l'est. Une fonction de plusieurs variables x, y, z, ... est un nombre dont la valeur est déterminée quand celles àQx,y,z, ... le sont. D'ailleurs une fonction peut ne pas exister pour toutes les valeurs des variables. Le résultat de tout calcul fait sur des nombres X, y, z, ... est une fonction de ces variables qui est définie pour toutes les valeurs de ces variables telles que les calculs soient possibles. Si ces calculs se bornent à des additions, soustractions et multiplications on dit que c'est une fonction entière ou un polynôme entier en x»
