R2 + R'2) (S* + S'2) — (RS 4- R'S')2 = (RS' — R'S

Donc

P = R2 -t- R'2 Q = RS + R'S'.

Le calcul de la fraction continuelle complète est ainsi ramené à

celui de sa première moitié. On est d'ailleurs averti qu'on est ar-

■p rivé à la réduite g par l'égalité R^ 4- R'* = P.

'1) Ster», J. /•. a. Ai., t. 53 (1857).

FRACTIONS COISTIIHUELLES

Remarque. — Ceci prouve que tout diviseur P d'un entier de la forme Q^ -+- i est une somme de deux carrés premiers entre eux et donne le moyen de calculer ces deux carrés (i).

Exemple. — Soit Q=i2a et P=ii45 qui est diviseur de

(i2iY -H I. Si on réduit — ^ en fraction continuelle voici le com-

mencement de l'opération avec les réduites correspondantes ii45

Comme (aS)^ + (19)2 = 1 1^5 on est arrivé au milieu du développement et l'on a

Supposons maintenant e := — i, c'est-à-dire que la fonction a un nombre impair d'éléments

Posons

am-i ~ S'

On a

a^+iRS + RS' -I- R'S

Les deux termes de cette expression sont premiers entre eux

(*) Tout entier n'est pas une somme de deux carrés. Il est évident, par exemple, que tout entier ^ 3 (mod. 4) n'est pas une somme de deux carrés. Voir le chapitre xiv.

parce qu'un facteur premier du dénominateur ne peut diviser ni l'un ni l'autre des deux facteurs R et a,„-|-iR -f- 2R' du numérateur. En effet, d'une part un facteur premier commun à R et à

a^+iRS -f RS' -h R'S

diviserait R'S, ce qui est impossible car R est premier à R' et à S ; d'autre part un facteur commun à

a,„+iR -+■ 2R' et a„+,RS -h RS' + R'S diviserait

(a^ + ,R 4- 2R')S — (a,„+.RS ■+- RS' 4- RS)

ou R'S — RS' c'est-à-dire ± 1 . Donc

P = R(a„.+,R -h aR')

Q = a„+,RS + RS'-f-R'S.

On est d'ailleurs averti qu'on est arrivé à l'élément a„j.i quand P = R(a„+.R + 2R').

94. Fractions continuelles généralisées. — Nous appellerons ainsi les expressions de la forme :

que nous écrirons

flo -+-

Une telle expression peut se ramener à une fraction continuelle non généralisée, car on peut écrire :

as -+-

Ma „

Mais on a quelquefois avantage à calculer sur la première forme.

FRACTIONS CONTINUELLES lyS

95. Réduites. — On appelle réduites de la fraction continuelle généralisée (3) les expressions

, bi b, \ b^

Oi a, -h I Og

mises sous forme du quotient de deux polynômes entiers par rapport aux a et aux 6. On trouve

an = ff ^"^ posant Po = Oo Qo

En posant

6 P a^ -[- — = ~ en posant Pj = a^ai -h 6i Qi = oi.

on voit que les expressions P/. et Qa se calculent de proche en proche par les formules

,. , { Pfc+i == Ofc+jPfc -^ ^a+iPa-i

^^^ ( Qfc+i==aA+iPfc + 6,+,QA...

La démonstration est analogue à celle du n° 85. On peut d'ailleurs supposer deux réduites :

Ld-' et P-^-°.

P P Alors les formules (4) s'appliquent aussi à q-" et ^ en supposant

bo = i.

En posant

Pa = P(ao ', bi,ai; b^, a.2; ... 6^, a^) on a :

Qk = P(ai; 62. «2; ... bk,ak).

Généralisation du théorème du «"85. — On a :

P(ao; 61, Oi ; ... 6a, a*) = ^{ak\ b^, a^i; ...; 61, ao).

Généralisation des relations (/i). — On a :

Pa: = ^{<^k'f bk, Ok-lt ... 6/.— r4-2> aA r+l)Pfc-r +

bic-r+iP{<ik', b/c, aA i ; ... b;c f.+3> Oic r+i)^k-r-i

\']lx THÉORIE UES NOMBRES

«t la même relation où P;^, P^.^, P^-r-i sont remplacés par

Q*t Qfc-rt Qfe— r— !•

Généralisation des relations des n"" 86. — On a : P*Q;^-i - Pk-rQk = (- i)''-%b, ... 6, «t, plus généralement :

P^Qt-A — Pft-;iQA =

{—ly-'^bibz ... bk h+iP{ak', h,ak-i; -.-bk-h+Sfah-k+i)-

Généralisation des relations du n° 88. — On a :

Qa ' ^ fe.

\ik-i Oa—, -

b, ai

Nous laissons au lecteur le soin de trouver les démonstrations de toutes ces formules, analogues à celles données pour les fractions continuelles non généralisées.

96. Fractions continuelles ordinaires illimitées Développement des nombres irrationnels. — Soit un nombre irrationnel s. Le procédé du n" 84 s'y applique. On peut extraire le plus grand entier contenu dans ce nombre, soit ao, puis poser

« = ao H- - (si > i);

extraire le plus grand entier contenu dans Si, etc. Seulement, ici, cette suite de calculs ne s'arrêtera pas, car si elle s'arrêtait, s serait égal à la fraction obtenue définitivement, c'est-à-dire à un nombre rationnel.

Un nombre irrationnel ne donne naissance qu'à un seul développement en fraction continuelle ordinaire. — On le voit comme pour le nombre rationnel.

Remarque. — Dans tout ce qui va suivre il ne s'agira que de fractions continuelles ordinaires. Nous pourrons supprimer l'épithète (( ordinaire » sans inconvénient.

Théorème. — Supposons qu'en partant d'un nombre irrationnel

FRACTIONS CONTINUELLES

^ on obtienne par le procédé précédent le développement illimité

flî

La réduite 7^ de ce développement tend vers s lorsque n augmente

indéfiniment.

En effet on a

ai +

Pn^n-fl

QnSn+1 -hQn-1

On en déduit

Pn PnS„+i + Pn-1 Pn (-Q"

* Q„ "" Qn«n+1 H- Qn-1 ^n QnCQnSn+l+Qn-l)

Or Q„, Q„i, *n+i sont positifs. De plus Q„ et Q„, croissent indé-

P Pn

finiment. Donc s — (^ tend vers zéro. Donc ç^ tend vers s. C'est €e que l'on exprime en écrivant :

s = Oo H-

ai H- I ûi -H P,

il«/rd expression de s — q^ . — On a :

Pn+lSn-t-2 ~>~ Pn

Qn+lSn+2 -+■ Qn

d'où

s Pn Pn+lSn4.2 + Pn Pn (— l)"gnf g

Qn Qn+lSn + 2-i- Qn Qn Qn(Qn+lSn+2 + Qn) "

Limites de l'erreur s —

On a trouvé

" ~ Qn ■" Qn(QnSn+l H" Qn i)

On voit d'abord qu'elle est du signe de ( — i)«. Ensuite à cause de

On+i < Sn-fl < «n+1 H" I

on a :

Qn[Qn(a„+t -h I) + Q„i] < I '" K Q„(Q„a„+i -f- Q„0

I'j6 THÉORIE DES NOMBRES

Qn(Qn+l-hQn)^' "'^QnQn+l'

La seconde de ces inégalités nous servira souvent. Elle donne les deux suivantes : ^

hn l< Q2-

Le résultat (5) joint à ce fait que în est de signe de ( — i)" peut encore s'énoncer autrement. Il exprime en effet que s est compris entre

Q„ Qn ^ Qn(Q„ -+ Qn l)

Or l'on a

P" u (-0" P? PnQn-l - Pn-lQn ^ Pn + ]P„-i

On Q«(Q„ + Q«-.) " Qn Q.(Qn -+- Q„.) Q„-t-Qn-i Ainsi s esf compris entre

Qn Qn+Q«-,*

97. Réciproque des théorèmes précédents. — Donnonsnous maintenant une fraction continuelle illimitée

les éléments sont tous des entiers et, de plus, tous positifs à partir de ai.

1° Les réduites successives de ce développement convergent vers une limites; i° si l'on applique à s le procédé du n° 96 on retrouve le développement dont on est parti.

i" Soit fY 1^ réduite d'ordre n. Ecrivons :

P=-Po4-/Pi Po\ . /P'i PA , , /P" P!?=i\

Qo QoQi QiQa " Qn-iQn

FRACTIONS CONTINUELLES I77

La série illimitée

Pn 1 I

Qo ^ QoQi QtQ. ^ -

est donc telle que la somme de ses /i H- i premiers termes est

égale à Ty", on l'appelle la série équivalente à la fraction continuelle.

La question revient à montrer que cette série est convergente. Or

les Q étant tous positifs c'est (à partir au moins du second terme

une série alternée. De plus les Q étant des entiers croissants, le

terme général décroît constamment et tend vers zéro. La série est

donc convergente. Appelons s sa somme.

L'erreur commise en prenant ^ pour valeur de s est du même

signe et plus petite en valeur absolue que le premier terme négligé qui est A. p. . On en déduit comme plus haut :

^ VnVn+l '

Qn(Q„-f-Q«-,)

p p I p On en déduit aussi que s est compris entre ^~ et p~ rr^'

Reste à démontrer la seconde partie du théorème, c'est ce que nous ferons tout à l'heure (n° 99).

98. Comparaison de deux nombres définis par des fractions continuelles, limités ou non. — Soit

Comparons les premiers éléments. Supposons d'abord Uo <. 0,0 • Alors

s < flo -h 1 < flo' < s' •

Donc

Caue». — Ihéorie des nombres, II. la

I'78 THÉORIB DES NOMBRES

De même si

ÛQ > Oo' on & s >• s'.

Supposons maintenant ao = ao. Comparons a, et a/. Supposons

oi < a/.

Alors

Si < Si'

et, par suite,

s = «0 -f- 7 > Oo -+- 77 > «'•

Si Si

Donc

et ainsi de suite. La règle est la suivante : Si l'on a

Oo = aj ùo = a/ ... a„i = a'„i et a„ < a/

on a

s <Cs' si n est pair « > «' si a est impair.

Exemples :

Cette règle ne s'applique pas si les développements ont leurs n premiers éléments communs, l'un d'eux étant limité à ces n éléments, l'autre en ayant plus de n ou étant illimité. On voit facilement que dans le cas le premier nombre est plus grand ou plus petit que le second suivant que n est impair ou pair. Pour pouvoir appliquer tout de même la règle dans ce cas, il suffit de supposer dans le premier développement un (n -h i)"™* élément que l'on pourra représenter par le signe 00 et que l*on supposera supérieur à tout nombre.

99. Théorîime. — Si un nombre s est compris entre deux nombres s' et s" et si les développements en fraction continuelle de

s' et s" ont leurs n + i premiers éléments communs, ces n ments appartiennent aussi au développement de s.

I élé-

FRACTIONS CONTINUELLES

En effet soit

s = bo -h

Si l'on avait on aurait si à est pair

k-i = Oa-i h > Oft (A < n)

>si

s > Si

si h est impair

s <; Si el s <C «2

ce qui est contraire à l'hypothèse. De même si 6/, •< a^. Théorème. — Soit une fraction continuelle ao

an nombre s compris entre p~ et p." ^"~- . Dans ces conditions

tes n -h 1 premiers éléments du développement de s en fraction continuelle sont a^, ai, ... On.

En effet

^=^ = Oo -h —

Pn H- Pn-i Qn -h Q„l

Ot -h

Donc, d'après le théorème précédent, les n + i premiers éléments du développement de s sont ao, ai, ... a„.

Application. — Démonstration de la seconde partie du théorème

du n° 97. On a vu à la suite de la démonstration de la première par-

P P -f- P tie de ce théorème que s est compris entre ^p et t^^ rr^- Donc

les n -\- I premiers éléments du développement de s sont ao, ai, ... an) et comme cela est vrai quel que soit n, le développement de s est bien

»8o THÉORIE DES NOMBRES