Exemples de développement
f" Exemple. — Soit s = y/a. Ici
Oo = 1 et Si = —= = V^2 + I-
/a — I Alors
Oj = 2 et s-i
Puisque S2 = *i on a a^ = d et Si = Si puis a^ = ai et S4 = «3, et ainsi de suite. Finalement
tous les éléments à partir du deuxième étant égaux à 2.
Celte méthode s'applique chaque fois qu'on a une expression calculable de s.
Dans cet exemple on a trouvé une loi simple pour le calcul des éléments.
On généralisera plus loin pour tous les nombres quadratiques (n" 110).
2""* Exemple. — Soit l'équation
Elle a une racine et une seule s entre o et i. On demande de la développer.
On a ici
Oo = o et Sq = —
Si
Donc Si est racine de
ou
Puisque l'équation (6) a une racine et une seule entre o et i, l'équation (7) en a une et une seule plus grande que i. En essayant les entiers successifs i, 2, ... on voit que cette racine est comprise entre i et 2. Donc
Qi = 1 et «1 = I H
FRACT10?<S CONTINUELLES
Donc S2 est racine de
i8fi
ou
On voit comme plus haut que cette équation a une racine et une seule plus grande que i, et l'on continue de la même façon. On trouve
dont les premières réduites sont
1 T 3 La racine est comprise entre
et
Cette méthode s'applique chaque fois que l'on a une équation donnant s.
3'"" Exemple. — Sachant que ;: = 3,i/4i59 ... trouver le plus possible des premiers éléments du développement de n.
On a
On trouve
et
On en conclut, d'après le premier théorème du n° 99 que les deux premiers quotients incomplets du développement de n sont
3 et 7. Les deux premières réduites sont - et — •
On peut trouver une limite de l'erreur commise en prenant pour n la valeur (par excès) — . On a la limite -Qâ , Q étant le déno-
iSd THÉORIE DES !HONBRBS
minateur de la réduite suivante. Or le quotient incomplet qui suit 7 est i5 ou i6.
Donc Qn'> i5x 7+ i =io6. Doncl erreur est plus petite que
7 X io6 74a
Cette méthode s'applique chaque fois qu'on a une valeur par défaut et une valeur par excès de s.
