Condition pour qu'une fraction irréductible ^ soit
une des réduites du développement d'un nombre s. — Si
5 = ^ la réponse est évidente. Soit donc s ^ ç^. Réduisons ^ en
fraction continuelle en modifiant s'il le faut la fin du développement (n" 84) de façon que le nombre des éléments du développement
soit impair si ^^ <; 5, pair dans le cas contraire.
Dans ces conditions pour que q soit une réduite du développement
de s il faut et il suffit que s soit compris entre 7^ et q ,r\i , ou, ce
qm revient au même que \ s — q <C q/q , o/\ *
La condition est nécessaire, on l'a vu au n° 96. Elle est suffisante on l'a vu au n" 99.
Corollaire. — Pour que q soit égal à une réduite du développement
Pi p
de s il suffit que s — q <i -q^ . Cet énoncé ne suppose pas 7^
irréductible.
102. Comparaison entre les développements de deux nombres égaux mais de signes contraires. — Soit
On vérifie facilement que
— s = — Oo — 1 -+-
I H- I a, — I -f- I 02 Hce qui est le développement cherché si a^ i.
FRACTIONS CONTINL'ELLES l83
Si ai = I on a
5 = Oo 1 H ;
Dans le premier cas les développements de s et de — s sont identiques à partir de 02; dans le second cas, à partir de 03. Ce résultat va être généralisé.
103. Nombres équivalents. — On appelle équivalents deux nombres s, s' reliés par une relation de la forme
«> |S, 7, ^ étant quatre entiers tels que
Il faut d'abord, pour justifier la locution employée montrer que s' s'exprime en fonction de s par une expression de même forme. En effet :
— ys -h a On dit que s et s" sont proprement équivalents lorsque
improprement équivalents lorsque
aS — PY = — I .
Remarquons que a et |3 sont premiers entre eux. Il en est de même de a et y, de & et ]3, de & et y.
Théorème. — Deux nombres équivalents à un troisième sont équivalents entre eux.
Soient s et s" équivalents à s' de façon que
as' -h^
(a8 PY=:±l)
On trouve
(aa^ -4- py)s'^ -+- aP' -+- {3^ * — (ya' -h Sy'js' -+- Y^' H- 88'
l84 THÉORIE DES NOMBRES
avec
K-h ?y')(yP'-+-33')-(^P'+^ô')(y«'4-8y')=(«8 — ^ïK^^t'ô'— PY)=± I.
On voit de plus que si les équivalences de s et s', de s' et s" sont toutes les deux propres ou toutes les deux impropres l'équivalence de s et s" est propre. Au contraire si les équivalences de s et s', de s' et / sont l'une propre et l'autre impropre, l'équivalence de s et / est impropre.
104. Rapport avec la théorie des substitutions homographiques sur une variable. — Considérons une substitution linéaire homogène à deux variables
ax -{- py yx ■+- 8y.
puis considérons le rapport ~ = z.
On voit que de la substitution (8) résulte pour z la substitution
dite homographique. A une substitution (8) ne correspond qu'une substitution (9), mais à une substitution (9) correspond une infinité de substitution (8) comprises dans la formule générale
X j Xa'x -+- yP'j y I Xy'x H- X3'j
en désignant par a', |3', y', (J^ les quotients de «, |S, 7, â, par leur plus grand commun diviseur et par X un entier quelconque.
Mais, bornons-nous maintenant aux substitutions homogènes unités. Alors il faut que
X2(a'S' — (ÎY) = I.
Donc
X = ± I et a'S' — P'y' = ± 1 . Dans ce cas à une substitution (9) ne correspond que deuop substitutions (8) à savoir
c; ï) ee (zj ir).
FRACTIONS CONTINUELLES l85
Les substitutions (9) où
aô — py = ± l
seront dites substitutions homographiques unités. Lorsque
a8 — Py = I
la substitution est dite modulaire.
Les substitutions homographiques se composent entre elles comme les substitutions homogènes correspondantes. Par exemple
Iy8/ \y's7 Vy^' -hsy # + ss'/
Les substitutions homographiques unités forment donc un groupe, et les substitutions homographiques modulaires en forment un autre qui est un sous-groupe du précédent.
Deux nombres équivalents sont deux nombres qui se déduisent l'un de l'autre par une substitution homographique unité ; deux nombres proprement équivalents sont deux nombres qui se déduisent l'un de l'autre par une substitution homographique modulaire.
De là résulte immédiatement le théorème du n® 103 et ses compléments sur l'équivalence propre ou impropre.
