Si w' = — — -| nous dirons que la substitution L g
transforme « en w'.
Théorème. — Si une substitution Si change w en Wi, et qu'une substitution Sj change Wi en (,h, alors S2S1 change w en «2. Soit
«-et) - «-(;:!:)■
On a, par hypothèse,
D'où l'on tire
ce qui démontre le théorème. On remarquera que, dans cet énoncé,
l86 THÉORIB DES NOMBRES
l'ordre des substitutions dans le produit S2S1 est inverse de celui des nombres Ui, oh.
Convenons que le résultat d'une substitution S appliqué à un nombre w sera représenté par Sw. Le théorème précédent s'exprime alors par l'égalité :
82(8110) = (8381) co
et l'on pourra représenter la valeur commune des deux membres par la notation plus simple SsSiO).
On généralise facilement. On a
88(8081(0) = (838281)0) et l'on représentera la valeur commune des deux membres par
D'une façon générale
Sn(S»- iS„2 ... SiU)) = (8„8„, ... 81) (D = SnS„i ... S,w.
On le voit de proche en proche.
Il importe de remarquer la différence entre cet énoncé et l'énoncé analogue pour les substitutions sur des variables. Soit une expression /contenant des variables. Si la substitution Si change / en /i puis si S2 change /i en Ji, etc., jusqu'à Sn changeant/,^! en y„ alors/ est changé en /"„ par la substitution S1S2 ... S„. On écrira
fn =/n-lSn
et
fyt =78182 ... S„iSn.
L'ordre des substitutions est inverse du précédent.
