Théorème. — Deux nombres rationnels quelconques — et
— sont, à la fois, proprement et improprement équivalents, et d'une infinité de façons.
Nous allons montrer d'abord que - est proprement équivalent à
FRACTIONS CONTINUELLES 187
zéro. C'est-à-dire qu'on peut déterminer a, |3, y, cî^, par les conditions :
Al '^
= 0, aS -
En
effet la première condition s'écrit
ain -+- 2n =
On
y satisfait en prenant
Reste à déterminer y et â
par la condition
Ai5 -f- my =
Or on peut supposer m, ai, premiers entre eux. Donc il y a des
valeurs de â, y, satisfaisant à cette condition.
Puisque — et — sont tous deux proprement équivalents a zéro,
ils sont proprement équivalents entre eux.
Pour trouver toutes les substitutions unités qui transforment en -T on remarquera que le calcul précédent a donné une substitution modulaire S transformant — en zéro et une substitution
Al
modulaire S' transformant — en zéro. Alors toutes les substitu-
Al
tiens transformant — en — sont les substitutions STS'~' oii T dé-
Al Al
signe une substitution automorphe de zéro (Même démonstration que pour les formes, I. 25i). Les substitutions T qui transforment zéro en lui-même sont d'ailleurs évidentes, ce sont les
substitutions ( A où a, y, â' sont quelconques. On obtient ainsi
une infinité de substitutions ; celles d'entre elles qui sont modulaires sont celles pour lesquelles a = o^ = ± i ; celles qui sont unités non modulaires sont celles pour lesquelles a = — ^=±i.
