TP

avec P,Q,, P,,Q,=:(i)ft

PV t -h P';.

Donc s et s' sont tous deux équivalents à /, donc ils sont équivalents entre eux. On voit de plus que l'équivalence de s et s' est propre ou impropre suivant que h et h' sont de même parité ou non.

2° La condition est nécessaire. — Soient deux nombres équivalents 5 et 5' ; il faut montrer que leurs développements en fractions continuelles sont identiques à partir d'un certain rang. Nous allons examiner d'abord des cas particuliers.

i" cas. s' = — s. Le théorème a été démontré au n" 102.

2 cas. s

3" cas. s' = - .

/3. Le théorème est évident.

Si les deux nombres s, s' sont positifs l'un

FRACTIONS CONTINUELLES 1 89

d'eux, par exemple 5 est plus grand que i, et l'autre s' est plus petit que i. Soit alors

On a

ce qui démontre le théorème.

Si les deux'nombres s et s' sont négatifs, considérons la suite des quatre nombres

et leurs développements. Le théorème s'applique à la compai-aison du premier et du second développement, à celle du second et du troisième, à celle du troisième et du quatrième. Donc il s'applique à la comparaison du premier et du quatrième. Cas général. Soit

Considérons

s — q (a — qy)s' -;- ^ — qB

[q entier, quelconque pour le moment).

Le théorème est vrai pour les développements de s et s, (combinaison des trois cas particuliers).

Donc il suffit de le démontrer pour les développements de ,?, et s'. Or si l'on considère la relation qui lie ces deux nombres équivalents :

on voit qu'en prenant pour l'entier q, le quotient à une unité près de a par y, le troisième coefficient a — q'/ de la relation (ii) est plus petit en valeur absolue que le troisième coefficient y de la relation (lo).

En commençant celle opération autant de fois qu'il le faut, ce troisième coefficient finit par devenir nul. Or une substitution

igo THEORIE DES NOMBRES

unité dont le troisième coefficient est nal est de la forme

On est alors ramené au premier et au second cas particuliers.

Remarque. — La relation homographique qui lie s et s' lie

aussi les réduites r^^ et ^, "^", h et h' ayant les mêmes significa-

tions que plus haut, n étant quelconque. Car cette relation ne

dépend que des éléments qui entrent dans çr^ et ç^ . Elle relie

donc deux nombres dont les premiers éléments du développement sont respectivement ao, ai, ... an ; ao', Oi', ... a\, ; et dont les suivants sont les mêmes, quelconques d'ailleurs.

108. — Ayant ainsi obtenu, dans le cas oii il en existe, une transformation homographique de s en s' on peut les chercher toutes. On voit, comme toujours, que cela à trouver une transformation homographique automorphe de s. Mais il est facile de voir qu'un nombre ne peut avoir de transformation homographique automorphe, différenle de la transformation identique s j*, que si c'est un nombre quadratique. En effet l'égalité

fs -+- S donne

Donc, sauf si

valeurs qui correspondent à la transformation identique, on voit que 5 satisfait à une équation du second degré à coefficients entiers. Réciproquement, tout nombre quadratique a-t-il des transformations automorphes? Nous résoudrons celte question plus loin (Chap. XII).

109 Représentation géométrique des fractions continuelles ordinaires ('). — Nous considérons un réseau de points

(^) F. Klein, Ausgewdhlte Kapilel d. Zahlenth, t. i, p. 17 et suiv., Gôltlngen, 1896.

FRACTIONS CONTINUELLES I9I

(I. 146) et nous n'en gardons que la portion au-dessus de Ox. Nous représentons un nombre s par la demi-droite issue de 0, située audessus de Oa: et d'équation x = sy.

Lorsque s est rationnel on peut aussi le représenter par un sommet

du réseau de la façon suivante. Soit s = r avec D(a, 6) = i et 6 > o.

Si s est connu a et 6 sont parfaitement déterminés et réciproquement. On peut donc représenter s par le point (a, b). C'est le premier point autre que 0 qui se trouve sur la demi-droite a: = sj (j >> o) . On peut encore remarquer que si l'on marque la demi-droite

X = sy ($ quelconque), et un point (a, 6), ^ est une valeur approchée

de s par défaut si le point est à gauche de la demi-droite ; une râleur par excès dans le cas contraire.

Ceci posé soit le nombre s, représenté par la demi-droite OS, et dont le développement en fraction continuelle est

* oi -H I + a„ +

Cherchons les points représentatifs des réduites. Appelons A„ celui p qui correspond à la réduite ^ , c'est le point de coordonnées ?„, Q„.

Supposons qu'on ait obtenu A,, Aa. ... A„j et cherchons A„. Or

Pji = 0„P„i -h P„2 Qn = a„Q„i + Qn-2-

Ces deux équations se résument dans l'équation vectorielle ('i 0A„ = a„OA„, -+- 0A„2.

Donc A„ est Vexlrémité (tun veclear équipollerd à On . OA„i et ayant

pour origine A„2.

Cette construction de A„ exige la connaissance de a,i, mais a„ peut se définir sur la figure. En effet l'entier a„ est défini par le fait que s

est compris entre -"!!" "^ ^""^ et K + OP» + Pn-i p^^^ ^^^^^

^ a«Q« -+- Qn-, («n -+- 1 )Qn "H Qn l

quent le point (a„P„ + P„i, aj)» -^ Qn-i) ou (P„+i, Q„+i) est du même côté de la droite OS que le point (P„i, Qn-i)> mai» le point {{a„ -h i)P„ H- P„ 1, (a„ -+- i)Q„ + Q„i) est de l'autre.

(^) Nous supposons connus les éléments de la théorie des vecteurs qui sont classiques.

iga THEORIE DES .NOMBRES

Par conséquent : pour obtenir A„ on trace de A,i 2 comme origine un

vecteur équipollent à OA„i et on le répèle autant de fois qu'on le peut sans traverser OS. V extrémité du vecteur ainsi obtenu est A„.

D'ailleurs on connaît A 2, c'est le point (o, i) ; et A i, c'est le point (i, o). Donc la règle préoédente permet d'obtenir A„ de proche en proche.

On obtient ainsi deux lignes brisées A 2AoA2 ... et A iAjA3 ... l'une à gauche, l'autre à droite de OS. Si s est irrationnel ces deux lignes sont indéfinies toutes les deux. Si s est rationnel elles s'arrêtent toutes deux et l'une d'elles au point représentatif de s.

La relation (i) du n° 87 exprime que le parallélogramme dont deux sommets opposés sont A/, et Aa i et dont un troisième sommet est 0 a pour surface i ; il ne contient donc aucun point du réseau (I. 149) ; c'est un parallélogramme élémentaire du réseau (1. 198).

I. — Trouver une limite du nombre des éléments de la fraction continuelle qui représente un nombre rationnel r ■

Autre énoncé de la même question. — Trouver une limite du nombre de divisions à effectuer dans la recherche par le procédé ordinaire du plus grand commun diviseur de deux nombres.

On a déjà donné une telle limite (I. 96) mais on peut en donner une plus petite.

Nous supposons r > i . de sorte que l'opération commence par la division de a par b. Soit n le nombre des éléments. Si l'on compare la fraction continuelle qui représente 7^ avec une autre dont tous les éléments sont I , il est évident que les réduites de la première ont des termes au moins égaux à ceux des réduites de la seconde. Cherchons

donc les réduites de celle-ci. La première est , la seconde -, la troi-

sième -, etc. On démontre d'abord facilement que le numéiateur de la

n* réduite est égal au dénominateur de la {n -i- i)^"^, et on en conclut que la n* réduite est — —, les u étant définis par les conditions :

Uo= l Ui = l.

NOTES ET EXERCICES igS

Il est évident que ces conditions déterminent une valeur de «„ et une seule. Pour la trouver cherchons si l'on peut satisfaire à l'équation (12) par une expression de la forme u„ = a". 11 suffît pour cela de déterminer a par la condition a^ = a -^ i.

, On trouve donc deux valeurs pour a, à savoir -^=^ .

Il est évident maintenant que l'expression :

satisfait à l'équation (12) quels que soient les nombres C et G'. Si on les détermine de façon que «j ^ i et «2 == 2, on aura la valeur cherchée de u„. On trouve ainsi :

On a alors :

. \(i -h/sy / ï - v/5 \"1

Pour résoudre le problème posé il suffit de résoudre cette inégalité par rapport à n.

Gomme il est évident que a„i est une fonction croissante de n il suffît pour cela de résoudre l'égalité

et de prendre la valeur trouvée, diminuée de i, pour la limite cherchée. On a

Ayant le produit et la différence des nombres ( — ^ — ^ j et

s/bY

on calcule facilement ces nombres et on trouve