I -+- v/5\" 6 v/5 -h v/56-^ -t- lx{— i

Cabik. — Théorie des nombres, t. II.

19^ THKOnie BES >OMRR€S

La limite cherchée est ce nombre dijninué de i , c'est-à-dire

Les logarithmes soat k base quelconque. En prenant la base lo on trouve comme limite supérieure (en calculant les coefficients à o,oi par excès)

4,79 log b -h o,68 -h 4,79 log

On peut remarquer que le dernier terme de cette expression diminue lorsque 6 croit et tend vers zéro lorsque b croît indéfiniment. Pour 6 = 2 il n'est déjà égal qu'à o,o3 environ.

En appelant v le nombre des chiffres de 6, on a log 6 <! ^'. d'où la limite 4,79v -+■ o,68 -f 4«79 X o,o3 = 4,79'J -+- o,83.

Lamé trouve comme limite 5v, par des moyens tout-à-fait élémentaires (C. R. A. S., t. 19 (1844) p- 867). D'ailleurs la limite (i3) est la meilleure qu'on puisse trouver puisqu'elle -est atteinte quand b = u„i, <* = «„ et /i pair.

IL — La suite des entiers «o Ui ... considérés dans la note précédente et définis par u^ ^ i , ui = i, «« = Un-i -\- «n-2> s'appelle suite de Fibonacci.

Démontrer les formules :

". = ^. (C:.. + 5CL, + 5^CL. H- ...) «n = 14- CL, H- Cl, -4- ..,

(les seconds membres étant prolongés tant que l'indice supérieur ne

NOTES ET EXEAC1C£S f tt5

dépasse pas l'indice iaferieur).

Un = "«-2 + «n-3 -+-... -4- «1 H- 2 «în+l ^-= H-Zn -H «2n-2 "h ... + U2 -f" 1 ^tn = U2n-i H- «în-S -f- ... -h «1 -h I «/. = K-1 — «n-2 + ... -H (— l)"«i] -h U„, U«+l««l — K)^ = (— l)"+* «^ H- «*n i = W2n «S H- U^a -h ... + u2„ = U„U„+j — I

«/.«n+1 — «„-lU«+â = (— O"

U^ 4- U^„+i — u'a.^ = U3„+2 «*« — «n-2«a J«ji+l«n4-2 = !••

m. — Trouver la n" réduite de la fraction continuelle

<Clau»en J. r. a. M. t. 3 (1828) p. 87). Rèp. — On a pour n éléments

P(aa a) = (« + v^^^"T^)"+' - (a - v/^M^)"+* .

IV. — Trouver les six premiers éléments du développement en fraction continuelle : i' de v-''^, 2° dn logarithme vulgaire de a (c''està-dire de la racine positive de 10^ :=: 2).

V. — Dans le développement en fraction continuelle d'un nombre s on a

suivant que n est pair ou impair.