p — i)aî'~* ^ 1 . 2 ... (p — 1) (mod.p

et en divisant les deux membres par 1.2 ... (p — i), qui est premier à p,

aP~* ^ 1 (jnod. p).

2^ énoncé du théorème de Fermât — p étant un nombre premier et a un entier quelconque, l'entier a? — a est divisible par p.

En effet a? — a = (a''"' — i) a.

Si le second facteur de cette expression, a n'est pas divisible par p, le premier facteur a**"* — i l'est.

Donc le produit est dans tous les cas divisible par p.

Réciproquement du second énoncé on déduit le premier.

Exemples :

(') Cette notation signifie : n" 3i5 du tome I.

(^) On entend par là que ce ne sont pa.s les entiers de même rang dans les deux cuites qui sont congrus entre eux.

THEOREME DE FERMAT O

Autres démonstrations du théorème de Fermât. — Voici deux autres démonstrations que nous donnons parce qu'elles reposent sur des propriétés des coefficients du développement de la puissance p*""^ d'un binôme ou d'un polynôme qui sont souvent employées.

2* Démonstration. — Lemme : p étant un nombre premier, dans le développement de la puissonce p*""* d'un binôme :

(x -^-yy = xP -^f^ xi'-'y -h ^^^' ~ ^' XP~Y' -h ...

i t-iZ- L \î- — ' xP ^y"^ + ... + yP

tous les coefficients^ sauj le premier et le dernier, sont divisibles par p.

En effet, le coefficient ^-^ '-^^-^ étant un entier

(1,1 57), on peut le mettre sous la forme entière en supprimant tous les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur. Mais comme 0 <;/'<! p, le facteur premier p se trouve au numérateur et non au dénominateur. Donc il subsistera après cette suppression des facteurs communs.

Exemples :

{x -+- yy = x^ -t- 3a;2j -+- 3xy^ -+- j'

{x ■+- yY = x^ -i- 5x*j + lox^y^ H- lox-y^ -h oxy^ -f- y^

' Ce lemme démontré, prenons lo théorème de Fermât sous sa seconde forme à savoir : a^ — a ^o (mod. p). Comme il est évident pour a = i il suffit de démontrer que s'il est vrai pour l'entier a, il est vrai pour l'entier a -4- 1. Or, d'après le lemme :

(a -h 1)^ — (oh- 1) ^aP -h I — (oh- i) ^ a^ — a (mod. p).

3" Démonstration, — Lemme : p étant un nombre premier, dans le développement de la puissance p®""® d'un polynôme.

(X + j + .:. + ty =V ^__j ^y ... t>> (. + p ... -^ X =p)

tous les coefficients, sauf ceux de x^, yi>, ... f, sont divisibles par p. Ce lemme se démontre comme le précédent. Il s'ensuit qu'on a, pour toutes valeurs entières de a;, j, ... t

[x -hy -\- ... H- ty = x? + yP -h ... + tP (mod. p).

b THEORIE DES NOMBRES

Ceci posé," faisons dans celte congruence x = y = ... = i = i, et soit a le nonibre de ces quantités. Il vient : af^^ a (mod, p).

Nous retrouverons, dans la suite, d'autres démonstrations du théorème de Fermât (').

3. Sur les restes, suivant un module premier p, des puissances d'un entier a. — Si a est divisible par p ses puissances le sont aussi. Dans ce cas tous les restes sont nuls.

Soit maintenant a non divisible par p.

Théorème. — Si l'on considère de suite :

(II) I, a, a^, ...

les restes des divisions des termes de celte suite par p se reproduisent périodiquement.

En effet, les restes par le diviseur p étant en nombre limité, on peut trouver dans la suite (4) deux termes qui donnent le même reste. Soit

a' = a (mod. p) (v' ;> v).

On en déduit (I. 417)

(5) a ~^^i (mod. y>).

Ainsi il existe un exposant positif v' — v satisfaisant à la condition (5).

Soit e le plus petit exposant positif satisfaisant à

(6) a«^ I (mod. p).

On a alors :

a''+« ^ a'» (mod. p)

quel que soit A, c'est-à-dire que les restes des termes de la suite (4) se reproduisent périodiquement de c en e à partir du premier. D'ailleurs ils ne se reproduisent pas à intervalles plus rapprochés. Car s'il y avait un entier positif e plus petit que e tel que

fl/i+e' ^ çji (mod. ;;) on aurait

a*' ^ 1 (mod. p)

(^) Voir en particulier la remarque du n" 3.

RESTES DES PUISSANCES "j

avec

ce qui est contre l'hypothèse.

L'entier e défini de celte façon se nomme t exposant auquel appartient a par rapport à p.

Théorème. — L'exposant auquel appartient un entier a par rapport à un module premier p est un diviseur de p — i .

i""® Démonstration. — Il résulte de la périodicité des restes de la suite (4) que les seuls termes de cette suite qui soient congrus à I (mod. p) sont les termes :

c'est-à-dire ceux dont l'exposant est un multiple de e. Or, d'après le théorème de Fermât, le terme a^~^, jouit de cette propriété. Donc p — I est un multiple de e.

2° Démonstration. — Considérons la suite

formée de e termes.

Les restes fournis par les termes de cette suite sont différents entre eux deux à deux, et différents de zéro. Si ces restes constituent tous les restes i, 2, ... p — i, c'est qu'ils sont au nombre de p — I, alors e = p — j et le théorème est vérifié.

Si les restes de la suite (7) ne constituent pas tous les restes 1,2, ... p — I, soit 6 un de ces derniers qui ne soit pas un reste de la suite (7). Considérons la suite :

(8) b, ba, ba\ ... ba'-'.

On démontre facilement que les restes fournis par les termes de cette suite sont encore différents deux à deux et différents de zéro. Mais, de plus, on voit aussi qu'un reste fourni par un terme quelconque de la suite (8) est difiérent d'un reste fourni par un terme quelconque de la suite (7). Alors si les restes de la suite (7) et ceux de la suite (8) constituent ensemble tous les restes 1,2, ... p — I, c'est que l'on a

ae = p — I

et le théorème est vérifié. Sinon, on prend un entier c de la suite

1,2, ... p — I qui ne soit ni un reste fourni par la suite (7) ni un reste fourni par la suite (8), on considère la suite

c, ca, ca^, ... ca'~*^

et l'on continue le raisonnement jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les restes 1,2, ... p — i.

Remarque. — Cette démonstration ne suppose pas établi à l'avance le théorème de Fermât. On voit alors que p — i étant un multiple de e on a

a»*"* ^ I (mod, p).

Donc on a ainsi une nouvelle démonstration du théorème de Fermât.

Exemples. — /> = 7

a=i donne la période 1 ; i appartient (mod. 7)àrexposanti

On peut remarquer que, quel que soit p, i appartient à l'exposant 1, et — là l'exposant 2 (sauf si p z=:z 2, dans ce cas — 1 appartient à l'exposant 1).

4. Recherche des entiers qui appartiennent, relativement à un module premier p à un exposant donné diviseur de p — I. — Soient :

les diviseurs de p — i. Nous nous proposons de trouver les entiers appartenant à chacun de ces exposants. Nous démontrerons d'abord le théorème suivant, fondamental d'ailleurs dans la théorie des congruences algébriques.

Théorème. — Une congruence algébrique à une inconnue, de degré m, suivant un module premier p, et dont les coefficients ne sont pas tous congrus à zéro [mod. p). ne peut avoir plus de m solutions (*).

(*) Lagrange. — Hist. de l'Ac. de Berlin, ?4 (1768), p. 19a, éd. 1770 = Œuvres, t. 2, Paris (i868), p. 667 Déjà démontré par ëuler dans des cas particuliers. Comm. Ac. Petrop., t. 5, p. 6 et Nouv. Comm. Ac, Petrop., t. 18, p. 93.