X. — Démontrer que (notations ordinaires

Qn-i ^ '' Qn ^

XI. — Soit s un nombre, — un nombre rationnel plus petit que s et —7 un plus grand. On suppose m'n — mn' = 1.

Considérons — ^r^ . Si l'on fait X = o, 1, 2, ... l'expression part

de — et tend en croissant vers —r . Il existe donc'une valeur Xi de X qui n n ^

est la dernière de celles pour lesquelles l'expression est plus petite que

s. Soit alors

nii m'X, -h m

/Il n'Xj -H n *

On a

On considère alors ^\ "|~ ^ . Si l'on fait X = o, i, 2, ... l'expression

part de — r et tend en décroissant vers — . Il existe donc une valeur Xj

de X qui est la dernière de celles pour lesquelles l'expression est plus grande que s. Soit alors

/Ils fWiXj + m'

Ma ^4X2 H- n'

Puis on recommence sur — les opérations qu'on a faites sur — et amsi

de suite.

Montrer que quelles que soient les valeurs initiales — et -^ la suite

des X sera, à partir d'un certain rang, toujours la même et identique aux quotients incomplets de s.

Pour — = - et -7 = - on retrouve le développement en fraction

continuelle ordinaire.