DÉVELOPPEMENT EN FRACTION CONTINUELLE DES NOMBRES QUADRATIQUES RÉELS
110. — En effectuant le développement en fraction continuelle de y/a (n° loo) on a trouvé un développement dans lequel les quotients incomplets se reproduisent périodiquement à partir du second. Ce résultat se généralise.
Théorème. — Toute fraction continuelle périodique est égale à un nombre quadratique réel (*). Réciproquement tout nombre quadratique réel se développe en une fraction continuelle périodique (^).
(Pour noter une fraction continuelle périodique nous écrirons la première période en la surmontant d'un trait).
Soit d'abord une fraction continuelle immédiatement périodique.
Le (k -\- i)'^™^ quotient complet de cette fraction est égale à 0. On a donc
Q.o -f- Qk-i d'où (i) Qk^' + (Qk-, - P.)o - P,-i = o.
Cette équation du second degré en 5 a tous ses coefficients en-
(1) EuLER, De fractionibus continuis, Com. Petrop., 9 (1787). (•) La.grange, Mem. Berlin 1770 = Œuvres, II, p. 7^.
DEVELOPPEMENT DES ."(OIMBRBS QUADRATIQUES
tiers et non nuls. Donc 0 est un nombre quadratique ou un nombre rationnel. Mais ce n'est pas un nombre rationnel puisque son développement est illimité. Donc c'est un nombre quadratique. L'équation (i) a deux racines de signes contraires. En effet a^ est positif, puisque c'est le [k 4- i)""' élément de la fraction continuelle. Donc Qk et P;t i le sont aussi. D'autre part Q est positif. Donc
ce qui peut aussi s'écrire
„ P. - Qa-i + v/(Pv -^ Qfe-i)' -H 4(- t)*
Soit maintenant une fraction continuelle non immédiatement périodique
= feorf-
En posant
bi
Ok
et désignant par -J^ et ^^^ la dernière et l'avant- dernière réduites
de
on a
R^6 4- Ra-1
Sft6 -h S/^i
Or Q est un nombre quadratique, donc &) en est un aussi. Réciproque. — Soit « un nombre quadratique, racine de réquatian à coefficients entiers :
(2) ax* -f- èx H- c = o
ayant ses racines inégales. Développons 03 en fraction continuelle.
Nous allons démontrer que le développement est périodique. Soit, avec les notations ordinaires
En écrivant que w satisfait à l'équation (2) on voit que w^^j satisfait à l'équation
aiPfcj'-l-P*i)»-H6(PAj-+-P;i-i)(Q.y + Q.-,)4-c( ,y-\-q,,y = o
ou
(aP,> + fcP.Q, H- cQ,')y^ -h
+ aPVi -h 6Pa,Qa i h- cQ^-i = o; soit
On remarquera sur cette équation quç :
I' Le déterminant {b''Y — 4'a<*'c<*> de cette équation est indépendant de k car en remplaçant a^, bk, Ck par leurs valeurs on trouve que ce déterminant est égal à (PaQa.i — Pa-iQ*)* {b'^ — liac) c'est-à-dire à 6^ — liac.
a' A partir d'une certaine valeur de k, les coejjîcients a<*> et c**' sont de signes contraires.
En effet en appelant f {x) le premier membre de l'équation (2) on voit que
Or pour k suffisamment grands, ~ et fJ=^ sont aussi voisms
qu'on le veut de w, mais l'un est par défaut et l'autre par excès. Dans l'un de ces deux nombres est compris entre les racines de l'équation (2), tandis que l'autre est extérieur à ces racines. Donc, pour ces valeurs de A-, les coefficients a* et Ck sont des signes contraires.
DEVELOPPEMENT DES NOMBRES QUADRATIQUES 20l
Cela étant, le nombre des systèmes de trois entiers a**\ 6^*', c<*' satisfaisant à ces deux conditions
«st limité. En effet on en tire
(6(*))* < 6* — 4ac
qui ne peut être vérifiée que pour un nombre limité de valeurs de 6***. Et ensuite on a
qui montre que pour chaque valeur de 6<*' il n'y a qu'un nombre limité de valeurs de a'*' et c'*'.
Il résulte de ce qui précède que dans la suite des équations (3) à partir du moment ou la condition Ok Ck <. o est réalisé on en trouvera deux, d'indices k et k' qui sont les mêmes. Alors cù^j. 4. 1 = Uk+i (puisque chacun de ces deux nombres est la racine positive d'une même équation ayant une racine positive et une racine négative), et la suite des quotients incomplets se reproduit à partir àet^^ +i identique i ce qu'elle est à partir de Wk+i. Donc elle est périodique.
111. — Voici une autre démonstration de cette réciproque. Reprenons la valeur de a'*'
On a (n" 97)
Alors
OU, en tenant compte de ce que
atti^ -h 6(1) -+- c = o aW = aao)e -f- a pc-j -+- fce.
Donc :
iW
< 2 I aïo 1 4- I a I -h I 6
et l'on voit qu'il n'y a qu'un nombre limité de valeurs de l'entier a*** satisfaisant à cette condition.
Une démonstration analogue s'applique à c**'.
Enfin il n'y a qu'un nombre limité de valeurs pour 6<*' puisque
(&(*))» liaWc^'') est constant.
112, — Il est facile de trouver une limite du nombre des éléments qui précèdent la période et une limite du nombre des éléments de la péfTode. Cherchons d'abord une limite de l'indice k tel que l'équation (3) ait ses coefficients extrêmes de signes contraires. Pour cela il suffit
que des deux nombres t^ ®^ fV~^ ^*"" ^'^^^ intérieur et l'autre, exté-
Vk Vfc-i
rieur aux racines de l'équation (i), et pour cela que la différence entre
Pi Pfcles deux nombres ^^ ®' r» — ' *°*'' infôrieure, en valeur absolue, à la
W.k VA-l
différence des racines de l'équation (i), c'est-à-dire qu'on ait
Or Q/(i >> «fc i et Q/t >> "A: (Note I du chapitre VU). Donc l'inégalité précédente sera satisfaite si
ou
Comme ~ — ^^^ est compris entre o et i , pour que cette inégalité soit satisfaite il suffit que la suivante le soit
va + .\""' > 5. ^ ^
DÉVELOPPEMEr^T DES NOMBRES QUADRATIQUES 2»3'
d'où
A partir de cette valeur de k on est certain que a(*> et e<*^* sont de signes contraires. Cherchons maintenant une limite du nombre des systèmes d'entiers a**', b^''J, c<*>.
De
(fe{*))s 4a(*)cW = ^
on déduit
Donc fe<*> ne peut prendre les valeurs o, ± *i, di a, ... ±: E'(y/Â). De plus 6'*' est de même parité que b. Donc 6('''' a, au plus (\/â) -t- 1 valeurs possibles.
Ensuite de
on déduit que, une fois 6<*' choisi, le nombre de valeurs de a*''* est au
plus égal à deux fois la facine carrée de — — — —, et par conséquent
au plus égal à y/A- Le nombre de systènies de valeurs a^, b^, C/^ est donc au plus égal à
7a (/a -+-0. ou- A + /À.
En résumé on a comme limite du nombre de termes de la période : A + v^A et comme limite du nombre des termes irréguliers
A + /Â -4- 2,4 log T-^ -t- a r — o,5.
Exemples de développements de nombres quadratiques.
1" exemple, — La fraction continuelle i H ... a pour valeur
la racine positive de l'équation a;= i H — , c'est-à-dire ..;
Ce résultat aurait pu se déduire de ceux de la note I du chapitre VIIÏ,
On a vu que la a* réduite de cette fraction est — — ou
Or (l
a* exemple. — La fraction continuelle
) tend vers zéro. La limite est donc —•
a comme valeur
Autres exemples. — On a vu plus haut (n® 100) comment on trouve le développement
On trouvera de même
113. Relations entre les développements de deux nombres conjugués. — Rappelons qu'on appelle nombres conjugués deux nombres p + q \/m et p — q \/m (p, q, rationnels, m rationnel non carré parfait] (n" 40). Les deux racines d'une équation du second degré à coefficients rationnels sont conjuguées quand elles ne sont pas rationnelles (n° 44).
Quand nous désignerons un nombre quadratique par une seule lettre, nous désignerons le nombre conjugué par la même lettre surmontée d'un trait. Ainsi le conjugué de a sera désigné par a.
