DEVELOPPEMENTS DE DEUX NOMBRES CONJUGUES
Théorème de Galois (^). — Si une fraction continuelle immédiatement périodique
Oft
a pour valeur le nombre quadratique S, la fraction renversée (5)
a pour valeur — = •
En effet si l'on appelle rr et rr^ la dernière et l'avant-dernièrfr
réduite de la fraction (4), on sait que celles de la fraction (5) sont
Pk Qk respectivement ^-^ et t^^^— •
rfc-i SJfc-i
Il en résulte que 0 est (n° lio) la racine positive de QkX' H- (Q;i-i - Pk)x — Pk-i = o et que la valeur de la fraction (5) est la racine positive de P,.j2 + (Q,, - P,)j - Q, = o.
Or cette équation se déduit de la précédente par la transformation y = — -. Il en résulte que la valeur de la fraction (5) est
égale à — ô^ où à — =. Mais comme elle est positive, elle ne peutêtre égale à — ^ ; donc elle est égale à — -^ •
Corollaire. — On en déduit le développement de 6. On a en effet :
et par suite (n" 102)
ak-i H-
ao-h
Qk
Ok-i +
Ck
(^) Ann. math, de M. Gbrgorre, t. 19 (1828-39) p. 294 = Œuvres mathém,, Paris, 1897, t. i.
THEORIE DES NO>fBRES
»i Oa pzf I , et
aA i + I +
afc 2 -f-
ak +
Ojk-l +
si a^j = I .
On Toi t que dans les deux cas les périodes de ^et ^ se déduisent l'une de l'autre par un renversement de l'ordre des élémtnts suivis d'une permutation circulaire. Ce résultat se généralise pour les nombres quadratiques quelconques.
114, — Théorème. Deux nombres quadratiques conjugués ont des développements dont les périodes se déduisent lune de Tautre par un renversement de l'ordre des éléments suiais dune permutation circulaire de ces éléments (*).
Soit wun nombre quadratique quelconque et
frA-h
Oo -h
ak
En appelant 7T et ^ la dernière et l'avant dernière réduite de la partie non périodique, et en posant
e = ao 4-
on a
On a donc aussi (no 45)
fl. -+-
Uk
Qê
Ceci posé la période de w est la même que celle de 0 ; la période de w est la même que celle de ^ ou tout au moins s'en déduit par une permutation circulaire (n° 117). Or la propriété annoncée est vraie pour Q et 0, donc elle est vraie aussi pour w et w.
11;5. Conditions pour quun nombre quadratique ait un développement immédiatement périodique.
(i) Legendre, Th. d. N., 3e éd., p. gS.
DÉVELOPPEMEMS IMMEDIATEMEM PERIODIQOES
Ces conditions sont que ce nombre, soU plus grand que i et que son conjugué soit compris entre — i et o.
1° Ces conditions sont nécessaires, car si l'on a
Ok
on a
Qi-i
Or Oo et Qk sont des entiers «jpérieurs ou égaux à i,donc^ >• i et ^^^^ > I . La deuxième de ces inégalités donne — i < 5 ■< o.
2° Ces conditions sont suffisantes. Nous allons démontrer que si elles sont remplies il est impossible qu'il y ait des éléments précédant la période.
i"cas. H n'y aurait quun élément avant la période. Soit
flo -+-
Oi H-
Oi -+-
et, par suite,
Ok
Ok-l
Les inégalités 0<;oet5> — i donneraient a fortiori h — Ok — i<Co et b — a* > — i d'où
Oa — I < 6 < Qfc + 1 .
Donc 6 =ai!t et par suite la période commencerait dès le premier élément.
2^ cas. Il y aurait deux éléments avant la période . Soit .
Oo -h -h fli H-
et par suite
Ok-l
ao8 THÉORIE DES NOMBRES
L'inégalité 5 > i donne
L'inégalité ^ < o donne
Oft
< C < Qft +
ÛA-l
d'où
Ofc — 1 < c < a;^ 4- 1
Donc c = a^ et par suite la période commencerait avant le troisième élément.
3" cas. — Il y aurait plus de deux éléments avant la période. Soit
Oo H-
oit
Puisque ô > i les quatre entiers P, Q, R, S sont positifs, de plus R < P et S < Q.
On aurait
prc+ ■
et
L'inégalité 5 < o montre que
est compris entre — p et — ?{ ^^ ^^^ deux quantités sont com-
DEVELOPPEMKMS IMMEDIATEMENT PERIODIQUES 200
prises entre o et — i . Donc
d'où
Oft-i +
Oa — I < c < 04 + 1
Donc c = Qk el par suite la période commençait avant a^.
116. Théorème. — Dans le développement en Jraciion continuelle de \/r, r étant un nombre rationnel^ non carré, plus grand que 1 :
1° Il y a un terme irrégulier et un seul.
2*> Le dernier élément de la période est égal au double de l'élément irrégulier.
3° Si on supprime le dernier élément de la période, ce qui reste de cette période est symétrique (*).
1° Le premier élément ao du développement de ^r est égal à la racine à une unité près par défaut de yr. Pour trouver les éléments suivants il faut développer
Or $ satisfait aux conditions du n° 115 crr l'on a bien ' > I - 1 < :è <o.
Donc a partir du second élément le développement est périodique. Reste à montrer qu'il ne l'est pas à partir du premier, c'est-à-dire que Oo n'est pas égal au dernier élément de la période. Cela résulte de ce que //' ne satisfait pas à la deuxième condition du n" 115. Son conjugué, — /r, est plus petit que i. *
2' et 3^ Soit
" Oi -h I + i a,, + On a, d'après le n" 113
(i) ^TERN, J. r. a. m., t. ii'(i83/t), p. ii4- Cahen. — Théorie des nombres, t. II.
d'où
Oo -+- y r = ttk -h
«fc-i H-
Mais d'autre part on a
On a ainsi deux développements de ao -\- \/r qui sont deux développements ordinaires. En écrivant qu'ils sont identiques on a :
ait = aoo
ce qui démontre les propositions énoncées. Réciproque. — Un développement delajorme
<«> = Oo H-
a, -(- I oj -h I -+- I oj -h 1 fli + I aoo + '
représente la racine carrée d'un nombre rationnel plus grand que i, En effet considérons
Jr
On sait (n° 92) qu'en appelant q la dernière réduite, l'avant
dernière est ^ .
Alors la dernière réduite de
Oa
-h I Oi 4- I aoo
est
aCoP H- Q aooQ + S
et l'avant dernière est ^«
Il en résulte que le nombre
«2 -f- ! -h I Cl + I aoo -h
DEYELOPPEMENTS IMMEDIATEMENT PERIODIQUES
est la racine de l'équation
(aaoP H- Q)e + P (2aoQ 4- S)e -h Q
et comme
w est la racine, plus grande que Cq, de l'équation
1 aaoP-t-Q-j-(to— Oq')?
to — Oo 2aoQ-f-S-f-((u — ao)Q
En développant cette équation on trouve :
Po)' = Poo* -+- aQao + S
u, = ./PV
îQOo
ce qui
démontre le théorème.
Remarque. — On en déduit immédiatement la forme du développement d'un nombre rationel, non carré Qlplus petit que i . C'est
aOo-H
117. Théorème, — Dans le développement en fraction continuelle de 1- y/r, r étant un nombre rationnel, non carré, plus
grand que -'•
1° Il y a un terme irrégulier et un seul ;
2° Le dernier élément de la période est égal au double augmenté de i de l'élément irrégulier ;
3° Si on supprime le dernier élément de la période, ce qui reste de cette période est symétrique.
i" Le premier élément Oo du développement de \- ^/r est
égal à la valeur à une unité près par défaut de — î -t- /r. Pour
trouver les éléments suivants il faut développer
— - H- \/r — Oo
Or Ô satisfait aux conditions du n" 115 car l'on a bien 1 ^ .1
/ L'inégalité — i <
etc. . .
2» et 3'. Soit
__ /r — Oo
^ — \^r — Qi
résulte de ce que r>»^
— - -h \/r = Oo -\ .-.
On a
d'où
I y/r = «0 — Ua
Oo -h ^ -H- y/r = Oa- 4-
Mais d'autre part on a
«0 + ^ + V^ = aoo + 1 + ^-^ I •••
On écrit que les deux développements sont identiques et l'on a
Gk = 2ao H- l
Réciproque. — Un déueloppement de la forme
fli H- I «2 -H
+ I 02 + I Oi + i aoo -t- 1 Hreprésenle — - -h la racine carrée d'un nombre rationnel plus grand que y
DÉVELOPPEME.NTS IMMÉDIATEME.NT PERIODIQUES 2l3
En appelant ^ et ^ la dernière et lavant dernière réduite de
on trouve par un calcul analogue à celui du numéro précédent
yP H- 4(2ao -t- i)Qh-4S
Remarque. — On en déduit immédiatement la forme du développement de « = — --h v^r avec f" < y, car en posant
la quantité -^ est plus grande que - et d'autre part on a
Par suite on déduit facilement le développement de o) de celui de Wi.
Exemples :
Remarque. — On peut réunir les énoncés des deux numéros précédents en un seul (ce qui" nous sera commode plus tard).
Dans le développement en Jraciion continuelle de — - + \/r~
p désignant o ou i, et r un nombre rationnel, non carré, plus
grand que ( i — -) .
1° Il y a un terme irrégulier et un seul.
2° Le dernier élément de la période est égal au double, augmenté de p, de l'élément ir régulier.
3° Si l'on supprime le dernier élément de la période ce qui reste de cette période est symétrique.
