CHAPITRE X

EQUATION DIOPHANTIENNE DU SECOND DEGRE A DEUX VARIA.BLES (i)

119. — La forme la plus générale de l'équation diophantlenne du second degré à deux variables est (-)

(i ) ax^ •+■ hxy -\- cy^ -^ dx -j~ ey -\- J = o

toutes les lettres représentant des entiers.

La quantité 6^ — 4ac sera posée égale à A et s'appellera le déterminant de l'équation (n° 30). Lorsque A sera négatif nous poserons souvent A = — D de manière à mettre le signe en évidence. La quantité D =z Uac — 6^ sera alors positive. Dans tous les cas D sera dit le discriminant de l'équation.

Nous distinguerons dans la résolution de l'équation trois cas suivant que A sera négatif, positif, ou nul.

120, Cas de A <. o. Equations du genre ellipse. — Lorsque A est négatif l'équation est dite du genre ellipse. On démontre en géométrie analytique, que si on la considère comme représentant une courbe ; cette courbe, si elle est réelle, est une ellipse (pouvant se réduire à un point). Dans ce cas on arrive à la solution par la méthode dite de décomposition en carrés.

La condition b^ — ^ac < o montre que a n'est pas nul.

[^) La première solution générale de celte question est de Lagrange, Hisl . de VAc. de Berlin, 1767, p. i65 et 1768, p. 181.

(*j Au sujet de la forme du coefficient de xy dans cette équation voir la préface.

ai 8 THÉORIE DES NOMBUES

Multiplions donc l'équation par (') ka. Elle devient :

{a) (200; -h 6y -h df -h Dj^ -\- 2(206 — bd)y -h [\aj — d^ =^ 0

[D = kac — 62 > o].

Multiplions maintenant par (*) D nous obtenons

D(aaar + 6j -h df + Dj 4- (aac — 6d)2 =

= [xa{aé^ 4- cd^ f-/62 — hde — 4ac/").

La quantité entre parenthèses sera désignée par E, E = ae« + c(f» + /b* — 6rfc — 4ac/

€t l'équation s'écrit :

(3) D(2ax 4- 67 + d)» 4- (Dj H- aae — hdy = liaE.

Le coefficient D du premier carré est positif. Il y a trois cas à distinguer suivant le signe du second membre.

i") 4aE <C o (L'équation représente une ellipse imaginaire). L'équation est impossible.

2°) E = o (L'équation représente une ellipse point). L'équation ne peut être satisfaite que si

2ax -h 6 j -f- d = o Dy -+- 206 — bd= o

d'où l'on tire x et y, puisque a et D sont différents de zéro.

Ces valeurs sont rationnelles. Il faut de plus qu'elles soient entières. Si cette condition est remplie l'équation diophantienne a une solution, sinon elle est impossible.

3°) AaE > o (L'équation représente une ellipse réelle).

Posons :

f 20X -^- fey -h ti = X ,

(Yiy -\- 206 — M = Y

(1) 11 s uffit de multiplier par un facteur tel que le coefficient de x* devienne un carré et que le coefficient de xy devienne divisible par le double de la racine «arrée du précédent. Dans les applications numériques il arrivera que ce facteur puisse être pris inférieur à ^a. Par exemple si dans l'équation donnée le coefficient b est pair il suffit de multiplier par a.

(•) Il suffit de multiplier par un facteur tel que le coefficient de y* devienne carré parfait, et que le coefficient de y devienne divisible par le double de la «• racine carrée du précédent.