EQUATION DIOPHAMIENNE DU SECOND DEGRE A DEUX VARIABLES 2I
■de sorte que X et Y sont des inconnues entières. L'équation (3) s'écrit
DX^ H- Y^ = haE
laquelle est facile à résoudre. En effet on en tire :
Y3 liaE
On essayera donc pour X toutes les valeurs entières dont le carré ne dépasse pas 4^- • A chacune de ces valeurs correspondent
pour Y les deux valeurs ±: \/l\aE — DX^ Si aucune de ces valeurs de Y n'est entière, l'équation proposée est impossible. Si certaines le sont on a des solutions pour X et Y, d'où l'on tire, par les équations (4), des solutions poura^ty. Si aucune de ces solutions n'est entière ('), l'équation est impossible; si certaines le sont ce sont les solutions cherchées.
Exemple. — Soit l'équation
2x^ H- Sxy -h aj^ — 5a; -f- 6j — Sa =: o. Elle se trans'brme en
7(4x + 3j - 5)« -f (7j H- 39)» = 4608. Posant
elle devient
Avant de lui appliquer la méthode générale on peut la simplifier par les considérations suivantes :
Celte équation transformée en-congruence (mod 3) donne
X» -+- Y2 = o (mod 3)
<:e qui exige
(*) Rappelons qu'au cas de plusieurs inconnues, nous appelons solutions entières des solutions où toutes les valeurs des inconnues sont entières.
On posera donc X =; 3X', Y =: 3Y' et l'équation devient
yX'^ + Y'^ = 5i2.
On trouve les solutions :
^ X' = ± 2 ^ X' = dz 4 ( X' = d= 7 ^ X' = ± ?Y' = dz22 ?Y' = ±20 ?Y'=d=i3 ?Y' = d=
Or
— 7X — 3Y + ï52 21X' — qY^ -i-i52 ^ — 2^8 — ^38
Finalement on trouve les solutions
cx^=i\ (x:^2 ix = — H' C x=. — 4 .a;=i4 cx = i
\y = —ib ?y = 3 \y = ?t \y = o (7= — 9 ?J = — 9
12i. Cas de à = o. Equations du genre parabole. — Lorsque A z=: o l'équation représente une parabole (pouvant se réduire à deux droites parallèles réelles ou imaginaires, ou à une droite double). La condition A = o montre que a et c ne sont pas tous les deux nuls, car sinon il faudrait que b le fût aussi, et l'équation ne serait pas du second degré. Soit par exemple a pif 0. En multipliant l'équation par l\a, on obtient comme plus haut la forme d'équation (2) et puisque D = o, elle se réduit à
(5) (2ax -h by -h dy -+- 2(206 — bd)y -h 4a/ — d'^ = o.
Distinguons deux cas.
i*''- Cas.
2ae. — bd = o
( X? V (2'ae — bdy à{d^ — kaf) . , ou E = o, car E = -, ^^ — ; — ; si donc A = o,
E8eréduità(^^^-=-^V L'équation se réduit alors à
{■iox + 6j + df = d^ — txaf.
Si cf^ — haf <C. o (l'équation représente deux droites parallèles imaginaires), l'équation est impossible.
