EQUATION DIOPHAMIENNE DU SECOND DEGRE A DEUX VARIABLES

Si d^ — a/ = o (l'équation représente une droite double), l'équation se ramène à l'équation diophantienne du premier degré

"iax -h by -\- d ^ o.

Si d'^ — a/>. o (l'équation représente deux droites parallèles réelles), l'équation se ramène aux deux équations

ax -h l>Y -h d = ± \/d^ — Itaf.

Si d^ — 4^/ n'est pas carré parfait, l'équation diophantienne proposée est impossible ; si d^ — /ja/ est carré parfait, l'équation proposée se ramène à deux équations diophantiennes du premier degré.

2' Cas.

2ae — bd-p±o (ou E ;zf o}.

Posons (6)

i lax -^ by -k- d = \

\ {Ixae — 2bd)y -^-liaf—d' = Y

X et Y sont entiers et l'équation (5) devient

La solution générale de cette équation est évidente. X est un entier arbitraire et Y = — X^. Alors des équations (6) on tire

^a{2ae — bd)

X" — 4q/ 4- d^ ■i[iae — bd)

il)

Reste à trouver les valeurs de X qui satisfont aux conditions :

6X' + a(aae — bd)\ -+- liabf-\- bd^ — l\ade ^ o [mod ^a^iae — bd)] — X^ — [\aJ-\-d^ ^o[mod2(2a« — bd)\

pour que a: et y soient aussi entiers.

Or ce sont là des congruences du second degré. Prenons l'une d'elles par exemple la seconde. Si elle est impossible l'équation proposée est impossible. Sinon elle a des solutions

X = Xo -4- 2(2ae — bd)\>.

X = Xi + 2(2ae — bd)\i

^ étant un entier arbitraire. Prenons l'une d'elles, portons la valeur de X dans la première des congruences (7). On obtient une congruence du second degré en |U(, Si elle est impossible, l'équation proposée est impossible. Sinon elle donne pour |ut, une ou plusieurs séries de valeurs dont chacune contient un entier arbitraire X, d'où de proche en proche des séries de valeurs de a? et j contenant chacune un entier arbitraire.

1*' Exemple.

4x* — laary -\- gy^ -h Sx — yy — a3 = o

s'écrit Posant

on a

d'où

(8a: — ïty -H 5)» -h Sy — 898 = o.

— 3X* -h aX + 1169 x -

La condition que y soit entier donne X = a[j. -f- 1. Alors

^^3;x'-2{x-f-a9a ^. — Kl^ + 0 , 4^

La condition que x soit entier donne ensuite [x = aX, Alors

a- = — SX^" — X + 73 y = — aX'' — X + 49 ' a* Exemple.

gx^ -+- 3oa;j H- aôj' + 70? -h 1 ij — 22a = o se transforn^e en

(i8x + 3oy + 7)' 247 — 8o4i = o.

Posant

18a; H- 3oj -(- 7 = X on a

aAj' + 8o4i = X*