ÉQUATION DIOPHANTIENNE DU SECOND DEGRE A DEUX VARIABLES

d'où

La condition que y soit entier donne

X = 6fx -f- i ou X = 6[ji — I

etc. On trouve finalement

3* Exemple.

X* — axy -h j^ -h arc — 5j' -t- 6 = o {x — y -\- ly — 3y -{- b = o X — y -h 1 = X 3/ - 5 = X*

On trouve que X doit être de l'une des deux formes 6X ±: 1. Donc on a deux séries de solutions.

y = 3X2 4- aX -I- 2 ( y = SX* — aX + 2

122. Remarque I, — Il est évident d'après le mode de calcul qne les expressions trouvées pour x, y sont des polynômes du second degré en X à coefficients rationnels. Ces polynômes jouissent donc de cette propriété qu'ils prennent des valeurs entières pour toute valeur entière de la variable. On est donc amené à se demander la forme générale de tels polynômes du second degré. Je dis que c'est

,. cX(X — ï)

a, b, c étant entiers.

En effet i° Les polynômes de cette forme jouissent de la propriété

indiquée car - — est évidemment entier pour toute valeur

entière de X.

2° Tout polynôme du second degré jouissant de la propriété indiquée est de cette jorme. En effet on démontre facilement que tout polynôme du second degré peut se mettre sous la forme

Doncsiy(o), /(i)./(2) sont entiers a, b, c le sont aussi.

Remarque IL — Dans les expressions trouvées pour x, y, on peut remplacer), par ± ). + h^ h étant entier. Gela peut simplifier ces expressions.

Remarque III. — Lorsqu'il y a plusieurs séries de solutions, il est évident que chacune de ces séries donne tous les points de la courbe si on donne à X toutes les valeurs possibles. On en déduit que l'une des séries se déduit de l'autre par une substitution X I rX 4- 5, r et s étant rationnels. Ainsi, dans le troisième exemple traité plus haut, la seconde solution se déduit de la première par la substitution X | X — 0 •

123. — Cas (/e A >> 0. Equations du genre hyperbole. Lorsque A >» G l'équation représente une hyperbole (pouvant se réduire à deux droites concourantes).

Il est facile de vérifier qu'après avoir multiplié l'équation (i) par A' elle s'écrit (')

a(Aa; — 2cd H- fee)' -+- b[^x — 2cd -h be)(^y — 2ae -h bd) -+-

-h c(^.y — 206 -h bd)- = — AE (E = ae^ -h cd^ -hjb' — bde — 4ac/). Posons

Aa; -h 2cd -\- be = X.

Ay — 2ae -h 6d == Y

(*) Celte transformation correspond à celle qui, en géométrie analytique,

. . 2ad — be aae — bd „ consiste a transporter 1 origine au point x = , y = -r . t<e

point est le centre de l'hyperbole.