EQUATION DIOPHANTIENNE DU SECOND DEGRE A DEUX VARIABLES
l'équation prend la forme
aX2 -h 6XY + cY» = — AE.
On voit qu'on est ramené à deux problèmes : i' résoudre l'équation
(8) aX2 + 6XY 4- cY» = — AE.
2° ne garder que les solutions qui satisfont aux conditions :
Nous allons généraliser ces deux problèmes de la façon suivante :
I*» résoudre l'équation
aX* H- 6XY + cY» = m.
2" trouver les solutions qui satisfont aux conditions
Y = B ( ^^^^ ^^ m, a, |3, ,a étant des entiers quelconques.
124. Résolution de ax* 4- hxy -^ cy^ =z m (»), Remarques préliminaires. — I. On peut, si c'est utile, supposer D(a, 6, c) = I. Car si a, 6, c ont un diviseur commun différent de I qui ne divise pas m l'équation est impossible, et s'ils en ont un qui divise m on peut diviser toute l'équation par ce diviseur.
II. On peut se borner à chercher les solutions dans lesquelles les valeurs de a? et y sont premières entre elles, c'est-à-dire les solutions primitives ('). Car une solution dans laquelle x et y auraient un plus grand commun diviseur d différent de i ne peut exister que si m est divisible par d^. Soit donc d^ un diviseur de m ; en posant X = dx', y = dy\ x' et y' forment une solution primitive de
ax'^ -hbx'y' -I- cy» =^. '
(1) Nous changeons les notations et mettons x, y au lieu de X, Y. (•) Voir I. a66 et l'erratum correspondant.
Caber. — Théorie des nombres, t. II. i5
Nous passons maintenant à la résolution de l'équation
(lo) ax^ -h bxy -+- cy- = m
et nous examinons d'abord des cas particuliers.
Cas où, l'un des coefficients a, c est nul. — Soit a =z o, l'équation (lo) s'écrit
y{bx -h cy) = m.
Pour la résoudre il suffit de décomposer de toutes les façons possibles m en un produit de deux facteurs, d'égaler l'un de cea facteurs à y et l'autre à 6a; -h cy, de tirer de là a; et y et de ne garder que les solutions entières.
Exemple.
y(3x + liy) = lo.
On trouve les solutions
X = — iS y = lo
!cc = a (x = — 2 (x=i3 y=i (j== 1 (y = — lO
125. — Cas où a et c sont différents de zéro, A étant un carré parfait.
Soit A == (î*'. L'équation (lo) étant multipliée par Ixa qui est différent de zéro peut s'écrire
[aax +- (6 + S)y][2ax + (6 — o)y] = Ixam.
Pour la résoudre il suffit de décomposer de toutes les façons possibles [\am en un produit de deux facteurs, d'égaler l'un de ces facteurs à 2ax -h (6 -f- ù)y et l'autre à lax + (6 — (J^)y, de tirer de là a; et y et de ne garder que les solutions entières.
Exemple. — Résoudre
x^ -H 5xj -}- 4j' = 1287.
Ici A = 3', l'équation s'écrit
{x -h Ay){x -4- j) = 1287.
On trouve '
x = =fii39 Cx = ±3i (x = ±4i (x = dz57i
y = d=i42 (y = ±^ (j = =p2 fjr==p:i42 (les signes supérieurs se correspondant ainsi que les signes inférieurs).
EQDATION DE FERMAT 227
126. — Cas OÙ A n'est pas carré parfait. Equations de Fermat. Dans les deux cas précédents A était carré parfait. Nous supposons maintenant qu'il ne l'est pas, et nous commencerons par la résolution d'une forme particulière d'équations, à savoir
/2 -4- pla — ka^ = dz i
dans laquelle Z et « désignent les inconnues, p est égal à zéro ou à un, k est un entier positif. Nous verrons ensuite comment on ramène la forme générale à cette forme particulière. Le déterminant d'une telle équation est lik -h p"^ ou [\k -\- P (carp* = p). Nous supposons qu'il n'est pas carré parfait.
Ces équations se nomment équations de Fermât (*).
Les équations où o = o c'est-à-dire
seront dites équations de Fermât de première espèce ; celles où p = I , c'est-à-dire
/• + <u — fcu* = lir I
seront dites équations de Fermât de seconde espèce.
Nous distinguerons aussi lorsqu'il sera nécessaire entre les équations avec le signe -f- et les équations avec le signe — suivant que le second membre est -4- ou — i .
Nous résoudrons à la fois l'équation avec le signe H- et l'équation avec le signe — , c'est-à-dire que nous résoudrons
{t* -h p/u — ku})* = i
puis nous distinguerons ensuite entre les deux.
Nous aurons à considérer dans les calculs qui vont suivre les deux racines de l'équation
X* -h px — k = o.
(') Eular dit : équation de Pbll et pendant longtemps cette dénomination •'est conservée. Mais c'est une erreur d Euler. Le mathématicien anglais Pall ne s'est jamais occupé de cette équation.
Dès le vue siècle les Hindous possédaient une méthode de résolution (Voir H. T. CoLEBRooKE, Algebra w'Uh Arithmetic, traduit du sanscrit. Londres 1817, p. 170) mais ne savaient pas démontrer qu'il y a toujours des solutions pour les équations avec le signe -|- ni voir quand il y en a pour les équations avec le signe — . Cette lacune fut comblée par Lagrarge, Mite. Taurinenses. 4 (1766/9), math., p. 45 (marquée 4i) (1768) = Œuvres, I, Paris, 1867, p. 671.
à savoir
— p -+- \/lxk -H p - — p — v/4fe -t- p
(^o) == v//f et o) = — f^k û ^ =o,
si p = 1).
On voit immédiatement que l'on a toujours
a> <; — I et w >. I sauf dans le cas de p = i , k = i, alors w = i -t-vo
est compris entre o et i.
Solutions banales. — Les deux systèmes de valeurs f = ± i, u = G sont solutions quels que soient k et p. Nous les appellerons les solutions banales. Une solution non banale est une solution dans laquelle la valeur de u n'est pas nulle.
Solutions associées. Facteur d'une solution. — Il est évident que si < = a, u = 6 est une solution, / = — a, u = — 6 en est une autre.
Mais d'une solution a, h on peut encore en déduire deux autres de la façon suivante :
Ecrivons l'équation
(( VUù){t — uw) = ± 1.
Puisque a, h est solution on a
Si on détermine c, d, par les conditions
(il) c — du> = a — 6(1) c — diù = a — bu).
il est évident que le système de valeurs c, (/satisfera aussi à l'équation.
D'ailleurs c, d sont entiers, car en résolvant les égalités (ii) par rapport à c et c? on trouve
Enfin le système de valeurs égal et de signe contraire au précédent — a — bp, b, satisfait aussi à l'équation.
EQUATION DE FERMAT 229
Les quatre solutions ainsi trouvées
sont dites associées. Elles sont différentes deux à deux sauf pour les deux solutions banales qui sont associées l'une de l'autre.
Fadeur d'une solution. — Nous appellerons facteur de la solution a, b la quantité a — b(ô.
Théorème. — Si l'on désigne par F le facteur d'une solution, les J acteurs des trois solutions associées seront — F, ç, ef — p-
Soit a, b une solution et F = a — 6w son facteur. Le facteur de la solution — a, — 6 est — a + few ou — F.
Soit c, d la solution déterminée par les égalités (ii), son facteur c — dw est égal à a — 6«. Or
(a — 6to)(a — fco)) = dz I.
Donc
c — dti} = a — 6u) = rt:jgi
et enfin le facteur de la solution ( — c, — cT^ est =j= ^ .
Corollaire. — Parmi les quatre solutions associées (nous laissons de côté les solutions banales) il y en a une et une seule dont le facteur est plus grand que i. Nous appellerons ces solutions les solutions positives et nous voyons que pour résoudre une équation de Fermât il suffit d'en trouver les solutions positives.
Remarque. — On peut définir autrement les solutions positives, et cette nouvelle définition explique le nom de solutions positives'.
Une solution positive est une solution dans laquelle la valeur de u est positive, et celle de t positive ou nulle.
i" Si a > o et 6 > G on a F > I .
En effet
Or — Ci)>i,6> ieta>o, donc F > i 2* Si F >. I on a a > o et 6 > 0.
33o THÉORIE DBS NOMBRES
En effet de
a — 6u) = F, a — bta on tire :
Puisque F > i la valeur de b est évidemment positive. Quant à celle de a ; si s = i comme, de plus 6 > o et w > o, elle est positive.
Sie = — i,a = — p|6w> ^^ > — I .
Donc a ^ o.
Il est d'ailleurs facile de voir que le cas de a = o ne se présente que pour la solution o, i, de l'équation /* + tu — u^ = — i.
127. — Pour résoudre les équations /' + plu — ku"^ = ± i, réduisons cd en fraction continuelle ('). Si p = o on a w = y/A: et
sip==ionaa)=-^-^^^^^.
Dans les deux cas on sait (n*" 116 et 117) que le développement est périodique et qu'il y a un terme précédant la première période.
Je dis que pour résoudre les équations i^ + ptu — ku^ = ± i ,
ilfaut^ dans le développement de «, calculer les réduites — obtenues
en s" arrêtant un élément avant la fin de la n^°" période, les valeurs t = tnt u = Un {n=^ I, 2, ...) Constituent toutes les solutions positives.
i*» Les systèmes d'entiers ainsi obtenus sont des solutions.
En effet soit
(la) a) = ao4-
Oi H-
ak H-
('} On peut être amené à cette opération par les considérations suivantes. D» t* + ptu — /cu2 = + I on tire (i\ + p i — k= + i-^. Donc pour u
un peu grand la valeur de - (étant d'ailleuri ^ o) doit être voisine de (o. On est donc amené i les chercher parmi les réduites de (u.
ÉQUATION DE FERMAT 23î
Considérons ce développement poussé jusqu'à sa n*®"* période soit
n périodes
Un III
^n «1 -+- I ûj 4-
a*-i -+- I flk
Posons
On a
n périodes moins un élément
iri^ 1 j I I j 1
Un~ ° Oi -4- I «! H- I " ■ -i- I aji i
et
u» = flo 4- ^
CD
Eliminant d entre ces deux équations il vient
u„w2 + [wn — aoU„ — /„)w — (v„ — aot„) = o.
Mais l'on a aussi
U)'^ -h pU) fc =: o.
Ces deux équations du second degré à coefficients rationnels, ayant une racine commune non rationnelle, ont leurs deux racines communes. Elles ont donc leurs coefficients proportionnels
Maintenant, l'on a
(l4)«„V„ — t„Wn = (— l)"*+*.
Eliminant v„ et u'„ entre les équations (i3) et (i4) on obtient
ce qui démontre la proposition.
2° Toute solution positive de l'équation peut s'obtenir de cette façon.
Soit a, h une solution positive. On a (i5) a" -h pa6 — kh^ = z (e = ± i).
Soit
5 ' c^-^-\Ct-\-\ Ch
le développement de r écrit de façon que ( — i)'' = e (n" 84).
Soit
On a
ab' — ba! = (— i)* = e = a» + pab —
■kb*
a kb — a' B a H- p6 — 6'
Or a et b satisfaisant à l'équation (i5) sont premiers entre eux. L'égalité (i8) donne donc
. , i kb — a' = 'ka
^^^^ (a-hpb—b' = lb
X étant un entier. Cet entier est positif. En effet, si p = o on a a — 6' = X6. Mais a^ = kb^ -i- £, et A; > i (puisque dans le cas de 0 = o on suppose que k n'est pas carré parfait il ne peut être égal à i). Donc a >» 6 et, à fortiori, a^ b' donc X > o. Si p = i on a a -4- 6 — b' = X6, Or 6 > 6' donc X > o. On a
U)' -h pu) k := o
d'où
ou
d'où
6(1)' -+- bpta — 6/c = O but* -h (a -h 6p)a) = ata -\- bk atii -+- bk
6u) 4- a -f- 6p c'est-à-dire d'après (19)
a(fa) + X) -f- g'
•^ — 6(ir4rx) + b'
EQUATION DE FERMAT
d'où d'après (i 6) et (17) :
Cj+"-l-|c/,-|-|a>-t-X-f-
c'est-à-dire
U) = Co -h
Ch
loa
Ok
L'élément X -+- Oo qui entre dans ce développement est un entier positif. En effet Oo est un entier non négatif et ). est positif. Donc le développement précédent de co est le développement en fraction continuelle ordinaire. Par suite il est identique au développement
(11) ce qui prouve bien que Co
— est identique au
-\-\cu ^
développement de « arrêté un rang avant la fin d'une période.
Cela prouve aussi que ). -f- ao est égal à a*. Or a^ = 2ao -h p (n"^ 117 et 118). Donc X = 0^ 4- p. Les égalités (19) donnent alors
(ao)
a' = kb
(a=hb — ( Ib' = a — a,
128. — Nous avons ainsi résolu l'ensemble des deux équations f* -+- ptu — A;u' = ±i. Il faut maintenant distinguer entre les solutions des deux équations. Or on vient de voir que la solution /„, «„ obtenue en arrêtant le développement de w un rang avant la fin de la n® période satisfait à l'équation
Donc tn, Un sera solution de l'équation avec le signe ■+- ou avec le signe — suivant que nk sera pair ou impair.
On en conclut que :
Si le nombre k des termes de la période de w est pair, toutes les solutions obtenues sont solutions de (^ -+- ptu — ku^ = i . Dans ce cas l équation t* -+■ otu — ku^ = — i na pas de solutions.
Si le nombre k des termes de la période de w est impair, les solutions /„, Un sont solutions de t^ -+- otu — ku^ = i pour les valeurs paires de n, et de /' H- ptu — ku^ = — i pour les valeurs impaires de n.
Corollaires. — L'équation de Fermai avec le signe ■+- est toujours
aSà
possible. L'équation de Fermât avec le signe — est possible quand le nombre des termes de la période de w est impair et dans ce cas seulement.
Remarques, — On aperçoit, à priori, des cas où l'équation avec le signe — est impossible. Nous pouvons écrire cette équation sous la forme
(ai + pu)* — (/i/f H- p)u^ = — 4 d'où
(2( ^- pu)* = — 4 (mod 4k -+- p).
Donc, pour qu'elle soit possible, il faut que l'on ait pour tout facteur premier impair p de lik -+- p la condition
ou (n" 36)
iT^) =
c'est-à-dire (n° 10)
p ^ i (mod II).
Ainsi l'équation avec le signe — est impossible quand kk -\- o a des facteurs premisrs de la forme [\h — i .
Corollaire. — Lorsque [\k -\- p a des facteurs premiers de la forme l\h — i le développement en fraction continuelle de
mJ^ — — ^t P présente une période d'un nombre pair de termes.
Exemple.
Pour l'équation avec le signe — , de première espèce, on voit encore d'autres cas où elle est impossible. En effet, en transformant cette équation i^ — ku^ = — i en congruence (mod 8) et remarquant que le carré d'un entier est congru à o, i ou 4 (mod 8) on voit qu'elle est impossible lorsque k est congru à o, 3, 4, 6 ou 7 (mod 8). Ainsi l'équation avec le signe — , de première espèce, est impossible quand Â; ^ o, 3, 4, 6, 7 [mod 8).
Corollaire. — Lorsque k^o, 3, 4. 6, 7 {mod 8) le développe-
ÉQUATION DE FERUAT 235
ment de \/k en fraction continuelle présente une période d'un nombre pair de termes.
Remarquons d'ailleurs que si /c ^ 3 , 6 ou 7 (mod 8), il a certainement des facteurs de la forme A^ — i, de sorte que pour ces cas le résultat que nous venons d'obtenir rentre dans le précédent.
Exemple.
Les réciproques des théorèmes précédents ne sont pas vraies. Il peut se faire que k ne rentre dans aucune des formes précédentes €t que l'équation soit néanmoins impossible. (Voir n*" ).
