Formules donnant tn, Un

On a:

71 période* moins un élément

Un «i -h l 02

Appelons ^ la réduite qui précède — . On a

\ Oi H- -H Ok-lJ

la fraction continuelle au -h— \ ... — - ayant k éléments.

Ol I -H I Ofc- 1

Cette fraction continuelle peut s'écrire, en remplaçant a^ par

2ao -+- p (n" 117)

I i II

Oo H- p + Oo -h -— ^ ••• -4- n

«i H- I -t- I Ot-i

c'est-à-dire

Donc

tn+i

""+* (ao-4-p + ^)«„ + «„' \ «1/

^1 \ „ ^ „ ' [(«0 -H P)"i + ^il"» -+- «i"«

Mais d'ailleurs /,/ et u,/ s'expriment en fonction de U et «„ par les formules (20), car <„ et Un ne sont autres que ce que nous avons appelé à ce moment a et b, et /„' et «„' sont a' et 6'. On a

tn = hUn — (Oo -+- p)<„ On' = 'n ao"n-

<l/„ -+- /fUiU„

Il en résulte (21)

La fraction qui est au second membre de cette égalité est irréductible car un facteur commun à ses deux membres doit diviser

{t^tn -h kaiUn)ai — [uit„ ■+- Qi 4- pa,)a„]/, et

{iJn -h ku^u„){tl ~h pu,) — [Uitn + (fj -\- pUi)a„]/cai

quantités qui d'après l'égalité /,» -h û/iUi — ^"«1* = d= i se réduisaient à q= u„, zp t„. Or /„ et u„ sont premiers entre eux.

Les deux fractions égales qui figurent dans l'égalité (21) étant irréductibles sont identiques et l'on a

kuiU„

in+^ = "l'u + Cl ■+■ pHl)"».

On a ainsi des formules de récurrence pour calculer t„, «„, une fois le calcul de t^, Ui effectué. On peut en déduire des formules donnant directement tn, Un en fonction de l'indice n. Pour cela nous introduisons dans le calcul le facteur de cette solution /„ — wu„(').

(1) Voici comment on y est conduit. Soit t, u une solution de l'équation de Fermât. On a

d'où

En posant

(t — iX}U)(t — tou) = + I

{t — cau)"(< — uju)" = + I.

(t — u>u)" = tn — taUn on a

{t tOu)" = tn (liUn.

Donc <„, u„ est aussi une solution. Et l'on doit te demander si en prenant pour t, u la solution positive la plus simple on n'aurait pas ainsi toutes les soIu« tions positives.

Les équations (22) donnent

'n+l — ^^n+i = [h — WU,)/„ + [kUi — Oi{li -\- pUi)]u„.

Mais, à cause de w^ H- pw — A: = o on a

kui — w(<i H- pUi) = — (/, — a)U,)a).

Donc

'rt+l — WUn+i = {Il — U)ai)(f„ — w«„).

On en déduit, de proche en proche,

(23) tn — U)U„ = (/, — WUi)".

On a ainsi une formule donnant directement /„ — w«„. Pour en déduire des formules donnant directement /„ et «,„ nous écrivons l'égalité précédente en remplaçant w par sa valeur

Cette égalité entraîne l'égalité conjuguée

P u„ __ v^4/c + P „^ ^ p. ^ P ... v^^^ + P d'où, par addition et soustraction

En développant par la formule du binôme on trouve

in -f- ^, «n = (^ + I aO" -+- C„«(<, H- I uO»-« ^^P «,* + ...

Cn*. Crt*, ... étant, comme à l'ordinaire, les coefficients du binôme.

La formule (28) donne les facteurs de toutes les solutions posi-

iives quand on donne à n les valeurs i, 2, ... Voyons ce qu'elle donne si l'on fait n = o, — i, — 2, ... D'abord pour n = o elle donne

ti — u)u, = 1

d'où /, = j ,'ui = o, elle donne donc la solution banale j, 0. Pour n <; o elle donne, en posant n = — n!

t n' — wa„, = {t^ — wui)-"' ou

t n' — WU„) =z

= (^ — ^"1)'^' ^ {il — <;>"i)"'

(/,> H- p/jUi — /cuj»)»' E^^*

£ étant égal à zp i suivant que l'équation P -h ptu — ku* = — i est possible ou non.

L'égalité

t w — wu«, =

donne l'égalité conjuguée

— »' gTl

ou

d'où l'on tire

"-" en*

Donc <„, , u„, est l'une des solutions associées de /„, , u„, (n° 126) dififérente d'ailleurs de la solution — /„, , — a„, .

En combinant les résultats précédents on arrive finalement au résultat suivant :

Les facteurs de toutes les solutions sont compris dans les formules ± [ti — wui)" où l'on donne à u toutes les valeurs entières^, positives et négatives et la valeur zéro.

La solution <,, Ui qui peut ainsi servir à trouver toutes les autres s'appelle solulion fondamentale de l'équation t^-\-otu — ku^ = ±i^

131. — Les formules (22) et (23) donnent, en y faisant n = I, 2, 3, ... toutes les solutions positives des deux équations t* -h plu — A'u' = it I .

Si l'équation avec le signe moins n'a pas de solutions ces formules donnent donc toutes les solutions positives de l'équation avec le signe plus. Si l'équation avec le signe moins a des solutions, pour avoir toutes les solutions positives de l'équation avec le signe plus il faudra dans ces formules faire n = 2, 4, 6, ...

Ces solutions sont donc données par la formule

Tn — œU„ = (f,— œ«,)'" ou

Quant à l'ensemble de toutes les solutions, positives ou non, de l'équation avec le signe plus on voit comme plus haut que les Jacteurs de toutes les solutions de l'équation avec le signe plus sont compris dans les formules :

± (fa — wu,)"

OÙ l'on donne à n toutes les valeurs entières positives et négatives et la valeur zéro.

La solution t^, «j, s'appelle alors la solution fondamentale de l'équation avec le signe plus.