Simplification du calcul de /,, «1. Soit
ti
u, ai
On sait que
oi -4-
est symétrique (n" 116 et 117). On a vu (n° 92) comment on ramène le calcul de cette fraction à celui de sa première moitié
seulement. Soit ^ cette fraction. On aura
t^ =z OoP -r- Q Ui == P.
133. — Cas oà l'équation de seconde espèce peut se ramener à une de première.
1° Lorsque k est pair l'équation de seconde espèce
(25) t^-htu — ku^ = dzi
peut se ramener à une de première. En effet dans ce cas la valeur de u est paire.
Posons
tz= t' — u! u = 2U'.
Aux valeurs entières de /, u, correspondent des valeurs entières de i', u' et réciproquement. L'équation devient
donc de première espèce.
2° Supposons k impair. La transformation précédente peut encore se faire. Mais elle ne donnera que les solutions de (26) dans lesquelles la valeur de u est paire. Au moyen des formules de récurrence (22) on voit immédiatement que si «1 est pair toutes les valeurs de u sont paires aussi.
Si Ui est impair on démontrera de proche en proche que «3^+1 et UjA^î sont impairs tandis que «s/, est pair.
Lorsque /* -i- ptu — /eu* = — i est possible Ui est impair.
133. — Exemples de résolution d'équations de Fermât, i" Exemple.
On a
Le nombre d'éléments de la période est impair. Donc l'équation
avec le signe moins est possible. La réduite — est ici -. Donc f, = i
«t Ui = I.
La solution positive générale est donnée par
tn -h u„ v^2 = (i + \/2Y
d'où
"" — r "^ rï:3 "^ "^ 1.2.34.5 ^ "^ •-
En particulier
est la solution fondamentale de l'équation avec le signe plus, dont la solution générale est donnée par
d'où
2* Exemple.
Le nombre d'éléments de la période est pair. L'équation avec le
signe moins est impossible. La réduite — est - . Donc <, = 2, '/| ^:=: i .
La solution positive générale de l'équation avec le signe plu» est donnée par
d'où
^ yt(/i— i)(n— 3) ^„3 3 ^ ^^
3* Exemple.
<2 H- /u — u» = zb 1
Cabir. — Tkéorie des nombres, t. II. 1*
Le nombre d'éléments de la période est impair. Donc l'équalion avec le signe moins est possible. La réduite — est - . Donc l^ = o, Ui = I. La solution positive générale est donnée par
d'où
In — — •
an 2
En particulier
est la solution fondamentale de l'équation avec le signe plus, dont la solution générale est donnée par
En particulier
T2 = 2 Uj = 3,
134. — Il nous faut maintenant revenir au problème du n°124, et montrer comment la résolution de l'équation
{26) ax^ -+- bxy 4- cj' = m
se ramène à celle d'une équation de Fermât, La façon la meilleure d'y arriver, tant au point de vue de la théorie qu'à celui de la simplicité des calculs, consiste à se servir de la théorie des formes quadratiques binaires. Nous renvoyons pour cette méthode au chapitre XIII). Néanmoins pour être complet et parce que la chose est intéressante, nous allons montrer ici comment on peut résoudre le problème dès maintenant. Le lecteur pourra passer ce qui suit jusqu'au n** 137 inclus. Nous avons déjà vu qu'on peut se borner à chercher les solutions primitives de l'équation (26). Je dis de plus qu'on peut se borner à chercher les solutions primitives dans lesquelles la valeur de y est première à m.
En effet, soit d le plus grand commun diviseur de y et m ; d'après l'équation, c? divise ax* ; mais il est premier à x puisque x^et y sont premiers entre eux, donc il divise a, donc d est un diviseur commun à a et m.
Réciproquement, soit d un diviseur commun à a et m ; pour chercher les solutions dans lesquelles y et m ont d pour plus grand commun diviseur on posera y =^ dy' , on divisera l'équation par d et l'on cherchera les solutions de la nouvelle équation où la valeur de y' est première à celle de m.
135. — Nous nous bornons Jonc maintenant, dans la résolution de l'équation (26) à la recherche des solutions où la valeur de y est première à m.
Puisque j et m sont premiers entre eux on peut poser
{27) x = vy -h fnz
avec
L'équation proposée devieat
(29) {av^ -f- bv -+- c)y^ -f- (aaf + b)inyz + am^z^ = m. On en déduit que l'on doit avoir
(30) av^ -t- 6u + c ^ o (oiod m).
Si cette congruence est impossible l'équation (26) l'est aussi. Si elle est possible soit y une solution. L'cquatioit (29) peut s'écrire
(3i) y^ -f- (2av -+- b)yz + amz^ = 1
équation de même forme que la proposée mais où le second membre est égal à i .
Remarquons que son déterminant (artu -f- by — ^a(av^ -+-bv-\-c) se réduit à 6^ — fiac, il est donc le même que celui de l'équation primitive. En résumé :
Si la congruence (3o) est impossible, l'équation (26) fest aussi. Si la congruence (3o) est possible on cherchera toutes ses solutions satisfaisant aux conditions {28). Pour chaque solution on Jera la transformation (27) et ton sera ramené à l'équation (3i), de même forme que la proposée mais où le second membre est égal à i .
135. — Ainsi nous sommes amenés à une équation de la forme (3a) ax^ -+■ hxy -f- cj* = i .
(Les notations sont changées ; a, 6, c, x, y ne désignent plus les mêmes quantités que dans l'équation (26), mais le déterminant est resté le même).
Supposons que nous ayons une solution particulière x = Xq,
Nous ferons dans l'équation (3i) le changement de variables
ix = Xot — ( ° Xo 4- cjo )a
p désignant o ou i suivant que b est pair ou impair.
Les relations (33) peuvent se résoudre par rapport k t et u, comme le dénominateur commun des valeurs de tel u, à savoir
x.^aa-o H- -^ jo) + Jo(-=-^ ^0 + «Jo)
se réduit à axo^ ■+- bxoyo + cjo^ c'est-à-dire à i , on a tout simplement
t = (^axo -h -^ yoY -+■ {-^-^ ^0 -+- yojy
u = — yox -h Xgy
de sorte qu'à des valeurs entières de x, y correspondent des valeurs entières de t, m, et réciproquement ('). La résolution en nombres entiers de l'équation (32) est donc ramenée à celle en nombres entiers de l'équation obtenue par la substitution (33). Or cette nouvelle équation se réduit à
(axo^ -+- fexojo -H cyo^)t^ -h p{aXo^ -\- hx^y^ -\- cy o^a
