ojo -+- cjo^) = I

Mais axo^ + bxoyo -+- cyo^ ^ i . De plus ~ ^ est entier car (1) Autrement dit la substitution (33) est modulaire. Voir I. a/la.

si b est pair on a A ^ o (mod 4) et si b est impair on a A ^ i

(mod 4). Posons — y — - = k. Finalement on est ramené à l'équation (34) t^ -^ Qta — ku^=i

c'est-à-dire à une équation de Fermât avec le signe plus (*). La solution générale de l'équation (29) est donc donnée par les formules (33) où l'on remplacera t, u, par la solution générale de l'équation (33).

Introduisons dans le calcul la quantité (^) x — ay, a étant l'une des racines de acâ + 6a + c = o à savoir

On a

X — ay = {xç,— oiyojlr — 1 ^— ^ ^o "+- cy^ -+■ a{aXo -h — ^ 7o)Jo.

Mais on vérifie facilement que

^ Xo H- cyo + ct^axo H ^ yo) = (Xo — at/o)^.

Donc

X — ay={x^ — ay^){t — (ou).

Donc enfin la solution générale de l'équalion (3 1) est donnée par

(35) X — ay = àz [xo — ^yo){ti — wu,)"

où Ton donne à n toutes les valeurs entières positives, négatives, et la valeur zéro.

Î36. — Mais tout ceci suppose qu'on ait une solution particulière Xq, yo de l'équation (32). Reste à en trouver une s'il y en a. Pour cela appuyons-nous sur la remarque suivante :

(*) De sorte qu'il nous aurait suffi aux n°* 126 et suivants de traiter seulement l'équation de Fermât avec le signe plus. Mais il était plus commode comme on l'a \u de traiter en même temps les équations avec le signe moins, et d'ailleurs nous aurons besoin plus tard de ces dernières.

(^) On y est conduit comme pour l'équation de Fermât (voir la note du nO 129), l'équation proposée pouvant s'écrire a(x — ^y){x — <*y) = i.

a 46 THÉORIE DES NOMBRES

Si Von considère une progression géométrique indéfinie dans les deux sens^ dont la raison q et tous tes termes sont positifs, il y -a un terme de cette progression et un seul A^" qui satisfait aux conditions

1 < A7" < </ si 7 > i

1 ">• A^ >> </ si <j| -< I .

g^ En effet ces conditions reviennent à

loff A ^ ^ log A log 9 ^ log g

et il y a bien un entier n et un seul satisfaisant à ces conditions.

Ceci posé considérons la solution générale donnée par la formule (35).

La quantité /j — wu, est comprise entre o et i . En effet on a

(fi — toui) ~\- (ti — wuj) = 2<i -t- pa, > o

(<l lûUi)[ti — WUi) = I >> o.

Donc les deux quantités i, — wwj et /j — wui sont positives. Leur produit étant égal à i la plus petite est comprise entre o et I.

Or c'est ti — wUj, car

(ti — wUi) — {ti — (DU,) = (o) — w)uj'=v/4/f -+- p «1 !> o. Maintenant l'égalité (35)^domic

\ X — ay \ = \ Xo — ^Jo \ (M — ^«i)"'

Donc s'il y a des solutions il y en a une pour laquelle

ti — wu, <i \ X — ay I -^ 1

et même une pour laquelle

ti — ititti <Ci X — «7 *^ 1

(puisque les solutions sont deux à deux égales mais de signes contraires). L'égalité

a(x — ^y)^^ — "j) = I donne alors

Or il n'y a qu'un nombre limité de valeurs entières de ce et j qui satisfassent à toutes ces conditions. On le voit immédiatement par une représentation géométrique. Si l'on veut opérer uniquement par le calcul il faut distinguer suivant que a est positif ou négatif.

Soit a positif. On a alors

ti — tOUj <i X — Ot V -^ I

a •' a{ti — (Di/j)

i - X < (. - ;)y < ^^^^ 1 ^^^^ - (/. - <oa,)

d'où

v/^/f H-.p v/4/f -h p {ti — wu,)

On a ainsi des limites pour y. On essayera les valeurs entières de y satisfaisant à ces conditions et l'on verra pour chacune de ces valeurs si l'équation ax^ + bxy -\- cy^ = i donne pour x une valeur entière.

Si aucun de ces essais ne réussit l'équation proposée est impossible.

Si l'un d'eux réussit on a une solution particulière.

Si a << o on trouve de même

I — a(/i — (OMi) ^ ^ T — a(t, — (uMi) ^ Vhk -+- p \/lik-h p [ti — uiu^)

137. — Ayant résolu par cette méthode l'équation (3i) on a la solution générale donnée par

y — az=±(jo — ot2o)(/i — WH,)"

a étant égal à

— {2av -h 6) H- \/b^ — liac

2{av^ -h bv -{- c)

Remarquons que ces solutions satisfont toutes à la condition D(y, /n) =1 d'après la forme de l'équation (3i).

q48 théorie des nombres

On revient alors aux inconnues £c, y de l'équation (26) et l'on trouve facilement la formule

X — ayz=±{Xf^ — ay^){l^ — wUi)"

a étant racine de a(/} -+- 6a -H c = o

— 6 4- v/fe' — kac

Telle est la forme des solutions de l'équation (26) correspondant à la racine v de la congruence (3o). Il faudra recommencer ces calculs pour toutes les solutions de cette congruence et l'on pourra ainsi obtenir plusieurs séries de solutions.

138. — On a ainsi résolu la première question du n° 123, on a les solutions de l'équation ax^ H- bxy -h cy* = m. Reste la seconde question : trouver parmi les solutions, celles qui satisfont à x^ a {mod fx), J ^ jS {mod p.).

Or par les formules (27) et (33) on voit qu'une série de solutions est de la forme

X = Ai -h Bu y = Cl -h Du

t, u, étant la solution générale d'une équation de Fermât et A, B, G, D certains coefficients entiers. Il faut donc écrire

Ai -h Bu = a )

Q + Du^p?^"^^^'^)-

Si ces congruences en /, u, sont impossibles, la série de solutions envisagée nen donne aucune satisjaisanl aux conditions x ^ a, y ^ |S {mod ^).

Si ces congruences, sont possibles il faut en prendre toutes les solutions.

Soit t^U, u ^ K l'une d'elles. On est ramené à la question Parmi toutes les solutions d'une équation de Fermât déterminer celles qui satisjont aux conditions t^U, u ^ K [mod ^.).

La solution générale étant donnée par

in — wu„ = ± {ti — coui)" on peut évidemment se borner aux solutions données par

t„ — ^ùUJ^ ^= (/j — triUi)" [n entier positif négatif ou nul).

Je dis que si l'on considère la suite de ces solutions tn, «n de n = — 00 à n = -h 00, les systèmes de restes de /«, Un (mod jt.) forment une suite périodique.

En effet comme il n'y a que'^ct restes (mod (x), il n'y a que p.^ systèmes de deux restes. Donc si l'on parcourt la suite formée par les systèmes de restes de tn, ù,,, on trouve forcément deux de ces systèmes qui sont identiques par exemple

^' ( (mod u).

A cause des formules de récurrence (22) on aura aussi

(mod II)

'n+i = tn

pour n >> /c.

De plus les formules (22) peuvent se résoudre par rapporta tn, Un car le déterminant est égal à 1 . On a

tn = {k + p«l)<n+l — /f"lWn+, «n = — «1^1 -I- htn+l'

On aura donc aussi

'"+*-'" j (mod .a)

pour n < /c. '

Donc les systèmes de restes de /„, «„ par rapport à ix forment une suite périodique de période L

Il en résulte la solution du problème. On forme les solutions successives /i, Mi ; tz, «2, ... jusqu'à ce qu'on arrive à une solution /t, Ui telle que

(mod jji).

Si cela n'arrive pour aucune valeur de i inférieure à u.' le problème est impossible. Si cela arrive on prend parmi les solutions /o, Ko,* /i, Ui ; ... /i i,«i i, toutes celles qui satisfont aux conditions

tn^ll

25o TUËORIE DES AOMBRES

et chacune d'elles en donne une infinité d'autres dont les facteurs sont donnés par

m entier positif négatif ou nul.