Y2 + 798YZ + 2.7.83Z
L'équation de Fermât est
EQUATION DE FERMïVT
Or
L'équation t^ — 711^ = — i est impossible, et la solution fondamentale de l'équation (Sg) est donnée par
Ml
d'où
Ensuite il y a une solution particulière de (38) telle que
OU
On trouve après essais, Z := t, Y = — 3. Alors la solution générale est donnée par
avec
On en déduit
par suite
in -1- «n ^7 = (8 + 3 v/t")».
Z = ± (In — 12M„)
X = ifc (— 2î«„ -h 63«„) Y = ±(-3f„+35iO.
En prenant successivement le signe + et le signe — on a une double série de solutions
— 2itn -+- 63u„ H- 8
— 3/„ -I- 35u„ — ti
et
2it„ — 63m„ 4- 8
Mais il faut que x, y soient entiers, ce qui donne, pour la première série de solutions /„ ^ i (mod 7) et, pour la seconde, t^^ — 1 (mod 7).
En formant la période des restes de <„, u„ par rapport à 7 on découvre que la première condition est remplie pour toute valeur de n, la seconde ne l'est pour aucune. /
Finalement nous trouvons les solutions
— Zln-\- 35u„ — II
'n4- «n ^1 = (8 4-3 s/'-jY n= ... — 2, — 1, o, i, a, ...
Pour
n = I X =fS y = 10
n ^ — I X = — 5i y = — ao
etc.
Restent à faire les calculs relatifs à la solution v =■- — 198 de la congruence (37), ce que nous laissons au lecteur.
140. Résolution de T équation de Fermât indépendante dés fractions continuelles. — La méthode que nous avons exposée dans les n°* 126 à 133 repose sur la périodicité du développement en fractions continuelles des nombres quadratiques. Son application est donc essentiellement bornée aux équations du second degré et l'on ne peut espérer la généraliser pour les équations de degré supérieur. Il n'en est pas de même de celle que nous allons donner maintenant. (Pour les applications numériques la première méthode est préférable) (*).
Le problème de la résolution de l'équation de Fermât peut se
(1) La première résolution de l'équation de Fermât, indépendante des fractioni continuelles, est de Lejeune-Dirichlet.
