THÉORÈMES DE MI.NKOWSKI

subdiviser en deux : i" démontrer l'existence d'une solution, 2° trouver toutes les solutions.

Il s'agira de la double équation t- -+- plu — ku'^ = =b i , mais tout ce que nous dirons pourra s'appliquer à l'équation avec le signe plus considérée toute seule,

141. — Nous allons prendre comme point de départ le théorème suivant dû à Minkowski (*).

Théorème I. — Etant données deux formes linéaires à deux variables ax -\- by et dx -h h'y dont le déterminant ah' — ha! est égal à H- oa — i [les coefficients a, h, a', b' étant d'ailleurs des nombres réels quelconques), il existe des valeurs entières de x, y, non nulles toutes les deux, telles que ton ait

\ ax -^- by \ <^ I \ a'x -\- b'y \ -^ 1.

Nous allons donner de ce théorème une démonstration géométrique. Il est évident qu'il peut s'énoncer de la façon suivante : Considérons le réseau carré formé par les points à coordonnées entières (/. i/iy). Si l'on trace les quatre droites

ax -+■ hy = ± \ a'aî H- fe'j = ih 1

il y a des points du réseau autres que 0 situés à t intérieur ou sur le contour du parallélogramme Jormé par ces quatre droites.

Or il est facile de calculer la surface de ce parallélogramme, elle est égale à ^ \ ab' — ba' \ c'est-à-dire à 4- On est donc ramené au théorème suivant : Si l'on trace un parallélogramme ayant l'origine pour centre et une surface égale à [\, il y a des points du réseau autres que 0 situés à l'intérieur ou sur le contour de ce paradélogramme.

142. — Pour démontrer ce théorème nous le considérerons comme cas particulier d'un théorème dû également à Minkowski et relatif aux contours non concaves.

Un contour fermé est dit non concave lorsque par chacun de ses points passe au moins une droite qui ne le traverse pas.

Par exemple le contour d'une ellipse, celui de toute courbe

(1) MmiowsKi, Geom d. Zahlen, Leipzig, 1896, p. io4. Dans cet ouvrage,. le théorème est démontré pour un nombre quelconque de variables.

3â4 THÉOBIE DES NOMBRES

fermée convexe, celui d'un parallélogramme, sont des contours non concaves.

Théorème (') IL — Si dans le réseau carré formé par les points à coordonnées entières {1. 147) on trace un contour fermé C non concave ayant un des points 0 du réseau CJomn\e centre et de surface (^) égale à k' ce contour contient à son intérieur ou sur luimême^ outre le point 0, au moins deux autres points du réseau i^).

Pour le démontrer construisons un contour F homothétique de C en prenant 0 comme centre dhomolhétie. Si le rapport d'homothétie est suffisamment voisin de zéro, le contour F ne contiendra pas d'autre point du réseau que 0. Si ensuite le rapport d'homothétie croît à partir de zéxo, le contour F s'agrandira et il y aura un moment où il passera par un sommet A du réseau. A ce moment il passera aussi par A' symétrique de A par rapport à 0, et peut-être encore par d'autres commets. Soit Ci le contour ainsi obtenu ; le théorème revient à démontrer que la surface de Ci est air pltrs é^ate k [\-

MaTntenant traçoBs ïe contour F homothétique de Ci avec 0

pour centre et - pour rapport dTiomothétie ; le théorème revient à

démontrer que la surface de F est au plus égale à i . •

Pour cela considérons les différents contours obtenus en transportant F parallèlement à lui-même de manière à lui donner comme centre les différents sommets du réseau. Je dis que deux quelconques de ces réseaux peuvent au plus se toucher en un point mais que leurs surfaces n'ont pas de partie commune. Il suffit évidemment de le démontrer pour le contour F et un autre.

Si l'on considère d'abord F et le contour ayant pour centre le point A, ces deux contours passent tous deux par le point I milieu de OA, mais leurs surfaces n'ont pas de partie commune parce qu'ils sont symétriques par rapport à ce point ï et d'ailleurs

(1) MiNKOwsKi, Geom. d. Zahlen, Leipzig 1896, p. 76. Dans cet ouvrage le théorème est démontré pour un espace à n dimensions. Il en résulte que les notions de distance, de convexité, etc., n'^ sont pas intuitives et qu'il leur faut des définitions algébriques. Nous nous en passons ici où la représentation géométrique n'est qu'un auxiliaire

(2) Nous appelons, pour abréger, surface d'un contour, la surface enveloppée par ce contour.

(^) Le lectftur est prié de faire la figure.

THÉORÈMES M Uli^KOWSKI 355

convexes. Il en sera de même pour T et le contour ayant pour centre le point A' .

Si maintenant l'on considère F et le contour ayant pour centre un point B différent de A ou A', on remarque que le point où F coupe le segment OB est à une distance de 0 au plus égale à la moitié de OB car sinon le contour variable de tout à-l'heure aurait, en grandissant, passé par B avant de passer par A. Si F coupe OB €ntre 0 et le milieu H de OB, les deux contours n'ont aucun point commun. Si F coupe OB en H, les deux contours ont le point H commun mais leurs surfaces n'ont aucune partie commune.

Ceci posé prenons tous les sommets du réseau dont les coordonnées ne dépassent pas en valeur absolue un entier h. Ils sont au nombre de (2k -+- i)^. Chacun d'eux est le centre d'un contour construit comme on vient de le dire. En appelant S la surface du contour F, la somme des surfaces de tous ces contours est (2^ -h 1)^8. Or toutes ces surfaces sont à l'intérieur d'un carré dont le centre est 0, dont les côtés sont parallèles aux axes et ont comme longueur 2h 4- a, a étant une longoeur indépendante de h.

Puisque ces surfaces n'ont aucun point commun sauf sur leurs contours on a

Ceci est vrai quel que soit h. Faisons croître h indéfiniment, le second membre tend vers i . Donc

Le théorème est donc démontré.

Théorème III. — Etant données deux Jarmes linéaires homogènes indépendantes ax ■+- bj, a'x -+- b'y et' deux nombres positijs e, e' dont le produit est égal à la valeur absolue du déterminant ab' — W, on peut trouver des valeurs entières de x et y, non toutes les deux nulles, telles que

I aa; H- 6j I < e \ a'x -h ¥y \ <^ e'.

En effet, il suffît d'appliquer le théorème I aux deux formes

ox -h 6v . a'x -4- t'y '-■ et ; — - •

143. Théorème IV. — Etant donnée une J orme linéaire homogène ax -+- by et un nombre positif quelconque e on peut trouver des valeurs entières de x, y, non toutes les deux nulles telles que

I ax -H 6j I <C e.

On peut trouver une infinité de ces systèmes de valeurs. En effet il suffit d'adjoindre à ax -\- by une forme quelconque a'x -4- b'y tel que ab' — 6a' ;zf o, puis de prendre pour e la valeur

£ et pour e' la valeur i^ — "' et enfin d'appliquer le théorème

précédent pour avoir un système de valeurs d'œ et y répondant à la question. Pour montrer qu'il y en a une infinité il faut distinguer deux cas suivant que le rapport - est irrationnel ou non.

1 ° le rapport ~ est irrationnel.

Déterminons un premier système Xo, yo, satisfaisant à la condition imposée

I axo 4- 6jo I < £•

axo -t- 6^0 n'est pas nul, car axo -t- by^ = o donnerait -= — ^" c'est-à-dire que r serait rationnel. On peut donc déterminer un second système Xi, yi par la condition

I ax^ + 6ji I < I aXo -h by^ \ puis un troisième par

I axi 4- bvi I < I aar, -h fcji |

et ainsi de suite. On a ainsi une infinité de systèmes répondant à la condition | ax -4- 6y | <C £, et deux quelconques de ces systèmes ne sont pas égaux puisqu'ils ne donnent pas à ax -h by la même valeur.

De plus aucun de ces systèmes ne donne k ax -+■ by la valeur zéro.

2° /e rapport - est rationnel.

THÉORÈMES DE MINKOWSKI 267

On a

a = hc b = kc

h, k étant des entiers, c un certain nombre. Donc

ax -h by = c{hx H- ky).

Les valeurs de ax -^ hy sont donc des multiples de c. Donc pour que \ ax ~\- hy \ tombe au-dessous de | c | il faut que hx -h ky ^= o. Il y a bien encore une infinité de valeurs de x, y satisfaisant à cette condition, mais elles donnent toutes à ax -h by la même valeur, à savoir zéro.

Théorème V, — Etant données deux j ormes linéaires homogènes indépendantes ax H- by, dx + h'y on peut trouver des valeurs entières de x, y, non toutes les deux nulles telles que

I [ax ■+- hy){(ix H- b'y) ] < ] a6' — 6a' | .

On peut trouver une infinité de ces systèmes de valeurs. La démonstration de ce théorème est contenue dans celle du précédent (*).

(•) Pour démontrer ce théorème à l'aide des fractions continuelles on remarquera que

(ax -f- byXa'x + b'y) peut s'écrire

[ax -+- 6y)r - {ax + by) + - — y\

Si l'on considère les valeurs x := — P„, y ^z Qn trouvées plus haut on remarque que y est positif, et de plus qu'on peut choisir la parité de n de

façon que ax + by ait le signe contraire à — ~ . Alors

ab' — 6a'

I (ax + by)[ax ■+■ b'y) \ <i \ ax + by \ Mais I ax+hy \ = ; <^ U . Donc

I [ax + by){ax + b'y) | < | a6' — 6a' ] .

Si l'on prend pour ~ une valeur principale on n'est pas sûr de pouvoir

choisir la parité de n. On trouve alors

I / I i \/ ' , L' \ ^ \ û6' — 6a' 1 , I au' 1 I (ax + by){ax + 6j) < | + Uts •

Cahen, — Théorie des nombres, II. 17

Remarque. — La généralisation des théorèmes précédents au cas de trois variables est Immédiate. Le théorème II est alors remplacé par le suivant :

Si dans le réseau cubique formé dans l'espace par les points à coordonnées entières on trace une surface fermée, non concave, ayant un des points 0 du réseau comme centre et de volume égal à 8, cette surface contient, à son intérieur ou sur elle-même, outre le point 0, au moins deux autres points du réseau.

La généralisation se fait aussi pour n variables mais la représentation géométrique réelle fait alors défaut. Nous n'en parlerons pas ici.

144. Théorème VI. — Etant donnée une forme quadratique binaire ax^ -\- bxy -f- cy* à déterminant A = 6* — ko-c positij, on peut déterminer une infinité de systèmes de valeurs entières de x et y telles que

I ax' + bxy H- cj* | < y/À .

En efiet on a

ax' H- bxy -f- cj* = a(x — 39')(x — ay — 6-+-v/Â - — 6 — /AN

Considérons le système des deux formes linéaires

X — ay X — ccy.

Leur déterminant est a — a, e'est-à dire — •

On est donc imn)édiatement ramené au théorème V.

Cas particulier où a, b, c sont entiers, A n'étant pas carré parfait.

Dans ce cas toutes les valeurs prises par ax^ H~ bxy -+- cy^ pour des valeurs entières de x, j, sont elles-mêmes entières. De plus aucune d'elles n'est nulle.

145. — Becherche d'une solution particulière de l'équation de Fermât t'^ -+- plu — /cu^ = ± i .

ÉQDATlOiy DE FERMAT 269

On cherchera par la méthode précédente une suite de systèmes de deux entiers tels que pour tous ces systèmes on ait

I <2 + plu /cu2 I < v/4/i H- p .

Les valeurs trouvées pbur l'expression t^ -+- otu — ka^ étant toutes entières et comprises entre — \/l^k -i- p et + v'iik-j- p certaines (^) d'entre elles doivent se répéter indéfiniment. Appelons / une de ces valeurs et /', a' ; l\ u" deux systèmes de valeurs de t, u, donnant à ^^ -h ûtu — ku} cette valeur. On aura

(89) n -h pt'a' — ku'^ = t'^ + pfu" — ku"'- = l

d'où

(4o) {f' + pt'a' — ku'^){t''^ H- ofu' — ku'") = l*

Or le premier membre de cette égalité est identique à

(l't' - ku'a')^ -h p{l't" — ka'a"){l"u' — Vu") — k{t'a' — t'a')*

(Voir chapitre XXI).

L'égalité (4o) s'écrit donc

(40 {l't" - ku'a"Y + p{t't" — ku'u'Y/u' — t'a') — k{t"u' — t'a")* = l\

Si maintenant on suppose que /', u' et /", u" satisfont aux conditions

on voit d'abord que i"a' — t'u" sera divisible par /, puis l'égalité (4i) montre que t't" — ku'u" l'est aussi, et en posant

t't" - ku'u" __ ™ fu' — t'u" j.

T, U sera une solution- de

l^ -^pla — ku^ = I.

Or comme le nombre des systèmes de deux entiers incongrus (mod /) est limité (égal à Z^), on trouvera forcément daiis la suite des systèmes satisfaisant à la condition (89), deux systèmes satisfaisant aux conditions (42). On aura donc ainsi une solution de l'équation de Fermât. D'ailleurs ce ne sera pas une solution

(i) U résultera de la solution définitive que toutes se répètent indéfiniment.

q6o théorie des nombres

banale, c'est-à-dire qu'on n'aura pas f u' — t'a" = o. En efiet ceci entraînerait

Alors l'égalité

r« + p(V — ku^ = t'^ + pi'u' — ku" étant écrite

montrerait que u"^ = u'*, d'où u" = eu' {s = dz i) et l'égalité (43) donnerait alors t" = eu'. Donc le sj'stème /", u" serait le même au signe près que le système /', u', ce qui n'est pas.

146. — Maintenant que nous sommes sûrs de l'existence de solutions différentes des solutions banales, nous allons montrer comment on peut les trouver toutes. Nous suivrons pour cela la méthode de Lagrange,

Théorème I. — Le produit de deux facteurs de solutions est un Jacteur de solution. Car soit

(f' wu'xr — wu") = T — wu.

On en déduit

(<' a,u')(<" — tou") = T — toU.

Donc en multipliant

(i'2 | p^'u' ku'^){t"^ -+- pfu" — ku'^) = T^ -h pTU — kW.

Donc si t' , u' ; f , u" sont deux solutions, T, U en est une aussi.

Théorème II. — L'inverse d'un fadeur de solution est un facteur de solution.

Démontré au n<* 126.

Théorème III. — Le rapport de deux facteurs de solutions est un facteur de sotution.

Résulte des deux précédents.

Théorème IV. — Dans l'ensemble des facteurs de solutions plus grands que i il y en a un plus petit que tous les autres.

Il sutfit de démontrer qu'il n'y a qu'un nombre limité de ces

facteurs plus petits qu'un nombre donné a plus grand que i. Ecrivons

(44) I <C ' — utji <.a

t — aw est, au signe près, l'inverse de t — ««. On a donc

— I <C ' — uw <^ 1 ou

(45) — I < uw — f < 1.

En additionnant membre à membre les inégalités (44) et (45) on trouve

G <; u(u> — lo) <; 1 -H a ou

Il n'y a qu'un nombre limité de valeurs de u satisfaisant à cette condition, à savoir les valeurs entières négatives plus grandes — ( 1 -h g)

Alors l'égalité /' -h ota — ku^ = ± i montre qu'il n'y a qu'un nombre limité de valeurs de t correspondantes.

Théorème VI. — Si l'on appelle F le plus petit facteur de solution plus grand que i lajormule F" (n = i, 2, ...) donnera tous les facteurs de solution plus grands que i.

D'abord tous les termes de cette suite sont des facteurs de solution d'après le théorème I et ce sont des facteurs plus grands que 1 . Ce sont les termes d'une progression géométrique de raison plus grande que i, ils sont donc rangés par ordre de grandeur. Reste à montrer que tous les facteurs de solution plus grands que i sont dans cette suite.

Soit F' un facteur de solution plus grand que i qui n'y serait pas. Il serait compris entre deux termes consécutifs de la suite. On aurait

F" < F' < F»'+* d'où

F' Alors p;; serait un facteur de solution (Th. III), il serait plus

grand que i et plus petit que F. Donc F ne serait pas le plus petit facteur de solution plus grand que i ce qui est contre l'hpothèse.

L'on volt ainsi que l'équation est complètement résolue quand on connaît la solution fondamentale de facteur F, et l'on retrouve les résultats de la première méthode.

1. — L'équation diophantienne aa;^ — 2xy — y^ = i est impossible ^Transformer en congruence mod 3).

IL — Résoudre l'équation diophantienne x^ — j! = o. Montrer que cette équation est impossible quand a est simplement pair et possible dans les autres cas. Quel est le nombre de solutions? Examiner le cas particulier où a est une puissance. Celui où a est premier. En déduire qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier a soit premier est que le plus petit entier positif dont le carré -ajouté à a

donne un carré soit — . .

m. — Trouver un entier qui augmenté soit d'un entier a soit d'un entier b donne dans les deux cas un carré parfait. Application a ^ 9, 6 = 24 (Diophante).

IV, — Résoudre les équations de Fermât

x'^ — Ï097* = 1 x" — ai ij'* = i

Rép. Les solutions fondamentales sont

pour la première a: = 158070671986249 y = i5i4o424455ioo seconde x = 278354873650 y= 19162705353

troisième x = 379516300906811930638014896080 y= 12055735790331359446442538767.

On voit par ces exemples que même pour des valeurs relativement petites de k on aurait tort de chercher à déterminer la solution fondamentale par simples tâtonnements.

V. — Au n'' 133 on a été amené à s'occupper de la parité de «t. Démontrer à ce propos la règle suivante. Pour déterminer la parité de P(ao, «1, ••• û„) on pourra i" supprimer les groupes de deux éléments pairs consécutifs, 2° supprimer les groupes de trois éléments impairs consécutifs, 3" remplacer les éléments pairs qui restent par des zéros et les impairs par des uns.

VI. — Résoudre les équations de Fermât x^ — (a^ ± a<i)u^ =. zt i à étant un diviseur de a.

Voir exercice VI du chapitre IX.