VII. — Résoudre les équations diophantiennes suivantes
x^ + crj -4- j- — 2a; H- 3/ + 5 = o Ixx^ — kxy H- J^ H- 5a; — 3 j -f- 3 :^ o 2x^ -H xy\ — 3j* -\- X -^ y — 4^ = 0 3x^ — %xy 4- aj^ — \hx -h \\y — 169 = o 2x^ — bxy H- 7^ — 43; H- 1 oj — 7 = 0
VIII. ^ Trouver les valeurs entières de x pour lesquelles un trinôme du second degré à coefCcienIs entiers est carré parfait. AppHca* tion aux trinômes — 2x* -+- 3a; + 11, gx'' + 5x -h i , 2x' — 3x H- 7, 3x2 H- 6x — I .
IX. — Trouver deux entiers consécutifs dont la différence des cubes soit un carré parfait.
Ré p. Le plus petit des deux entiers est de la forme
X. — On appelle nombres triangulaires les entiers de la forme
— ^ (/i >■ o). Les entiers — ^ où h est négatif sont aussi
4 • 1 • . L 1/ h(h-h i) (h' — i)h' triangulaires car, en posant h =z — A' on a -^^ = —
Démontrer que tout entier est la différence de deux triangulaires.
En particulier a = -^ ' — ^^ ^^^ . Cette solution est la seule
quand a est une puissance de 2.
XI. — Trouver des nombres qui soient à la fois triangulaires et carrés.
Rép. '^i'^-^') où ^(3 + v/8)* + (3-^8)>--a
204 THÉORIE DES MOHBRES
XII. — Le seul nombre triangulaire dont le quadruple le soit aussi est zéro.
XIII. — Le seul nombre triangulaire égal à la somme de deux carrés consécutifs est i .
XIV. — Le seul nombre triangulaire égal à la somme des carrés de deux nombres impairs consécutifs est lo.
XV. — Généralisation de la queslion du n° 122. Forme générale des polynômes à une variable de degré m qui prennent des valeurs entières pour toutes valeurs entières de la variable.
Rép.
/(X) = ao-h^X+^X(X-i)-4-...+ Y:|;=^M^-0..(^-'"+0
X étant la variable ; Oo, a,, ... a^ des coefficients entiers arbitraires.
XVI. — Le théorème IV du n° 143 peut se démontrer à l'aide des fractions continuelles (que nous avons voulu éviter à cet endroit). Le
cas de - rationnel étant évident, examinons celui de - irrationnel. a a
Réduisons - en fraction continuelle, soit ^r "ne réduite. On a a yin
d'où
•^ = qw-^è<'^'<"
Qn croissant indéfiniment avec n on voit que a( — P„) -4- 6Q„ tend
vers zéro.
P Si l'on prend pour j^ ^^^ valeur principale (Exercice VII du cha-
Vn
pitre VIII) on a
XVII. — Le théorème V du n" 143 peut se démontrer de la façon suivante :
On remarque que
(ax H- by){a'x -h b'y) = {ax -h 6j)[^ {ax + by) -h " ~ ° jl-
Si l'on considère les valeurs x = — P„, y = Q„ trouvées plus haut, on remarque que y est positif et que de plus on peut choisir la parité
de n de façon que ax + by ait le signe contraire à . Alors
] [ax H- by){a'x -h b'y) \ < \ ax -h by \\ ^ ~ " y • Mais
\ax + by\<\-^.
Donc
I [ax -h by){a'x + b'y) | < | a6' — 6a' | .
Si l'on prend pour j=r? une valeur principale on n'est pas sûr de
pouvoir choisir la parité de n. On trouve alors
I {ax + by){a'x + b'y) |< "^' " ^°'
aa
tité supérieure à
Donc I [ax -\- by){a'x -+- b'y) \ peut devenir supérieur à toute quanab' — ba' a
Si l'on applique ces résultats à ax^ -f- èa-y -i- 0^^ = 0(0: — <^y)(^ — <^y)t les coefficients a, b, c étant entiers et A n'étant pas carré parfait on voit que j œ* -+■ bxy 4- cy* | peut devenir inférieur à toute quantité
supérieure à — -. Mais comme de plus | ax^ -\- bxy + cj^ | est entier
et que — ne l'est pas on voit que | ax^ + bxy -+-- cy'^ \ peut devenir
inférieure à
XVIII. — Réciproque du précédent. Soit l'équation diophantienne
ax'^ -\- bxy -f- cy^ = m où l'on peut toujours supposer a >► o.
i" Si m >> o et m <; ^—^, toute solution aï. y de l'équation (/ > o) est telle que - est une réduite de a si "> a, une réduite de a si
2° Si m -< o et — m <; — , toute solution x, y de l'équation
(j > o) est une réduite de a et une réduite de a , pourvu que de plus on ait
On pose - = 2-+- — ouaH — ^eton démontre que dans les hypothèses faites on a j £ I <" ~ • ' '2
XIX. — Dans le développement en fraction continuelle d'un nombre quadratique a racine de ax^ -\- bx -\- c ^= o tous les éléments de la période sont plus petits que y^ .
Pnûfn+l + Pn l Pn ^
Qn«„+t+Q„i Qn Qn(Q«an+l -H Q„i)
En calculant aP„^ -f- 6P„Q„ -f- cQ„' = a(P„ — aQ„)(P„ — âQ„) on trouve
aK' + 6P„Q„ -+- cQ,' = ,^^ "'^ .,
Or I aP„2 + 6P„Q„ + cQ^' 1 > 1 et -^y- ^ , tend vers
zéro. On trouve at„^i <^ — î- , 7) étant aussi petit qu'on veut, d^où
Table des solutions fondamentales des équations
