Formes et classes de première et de seconde espèce
Théorème. — Dans deux J ormes équivalentes les seconds coejfi^ dents sont de même parité.
En eflfet si l'on passe de (a, b, c) à (a', b' , d) par la substitution
on a
= 2(aaP + 6Py H- 2yS) ± 6
ce qui démontre le théorème.
On pourra donc distinguer les formes et classes où le second coefficient est pair et qui seront dites de première espèce, et les formes et classes où le second coefficient est impair et qui seront dites de seconde espèce.
Dans les J ormes et classes de première espèce le déterminant A est congru à zéro [mod A), dans les formes et classes de seconde espèce le déterminant est congru à i [mod 4).
En effet, A = 6^ — fiac est évidemment congru à zéro ou à un (mod 4) suivant que 6 est pair ou impair.
Réciproquement, tout entier congru à zéro [mod 4) est déterminant de formes de première espèce, tout entier congru à un [mod 4) est déterminant de formes de seconde espèce. En effet dans l'équation A = 6^ — 4ac, où A est supposé connu et où il s'agit de déterminer a, b, c, donnons à b une valeur, paire si A est congru à zéro (mod 4) ; impaire si A est congru à un (mod 4), on en
tirera ac = — ^ — , valeur entière d'où l'on déduira des valeurs
pour a et c.
On peut ajouter que A est déterminant de formes primitives. En effet, parmi les systèmes de valeurs de a et c on peut prendre
a = I, c = — ^ — ; la forme obtenue est primitive.
155. Formes arithmétiques définies ou indéfinies. — Nous remarquons que les formes d'une même classe sont toutes définies, ou toutes indéfinies, ou toutes carrés parfaits puisque leur déterminant est le même (n° 151). Si elles sont définies, elles sont toutes
définies de même signe. On peut donc parler de classes définies, d'un signe ou de l'autre, et de classes indéfinies.
Une forme définie prend pour toutes \aleurs de x, y une valeurdu même signe que a.
Une forme indéfinie peut représenter des entiers des deux signes. En effet on a vu (n** 151) qu'elle prend des valeurs d'un signe ou de
l'autre suivant que - est intérieur ou extérieur à l'intervalle Wi, (j^^.
Or il existe des systèmes de valeurs entières de a; et y satisfaisant à l'une ou à l'autre de ces conditions. Il en existe une infinité. De plus il en existe une infinité dans lesquelles les valeurs de x, y sont premières entre elles, c'est-à-dire pour lesquelles la représentation est primitive.
Enfin pour une forme carré parfait aag*-H6acy-hcy^=^ ax -ir y)
si l'on pose = ^ , a et |3 étant premiers entre eux, cette forme
représente primitivement zéropoura;=a, j=]3 et pour x= — a, y = — |S ; elle représente zéro, non primitivement, pour x == aX, y = |3X (X entier difi'érent de ± i), elle prend une valeur du signe de a pour tout autre système de valeurs de x, y.
156. Equivalence des formes définies. — Les problèmes fondamentaux sont :
1° Reconnaître si deux Jormes sont équivalentes.
2° ^u cas oh elles le sont trouver les substitutions unités pat lesquelles on passe de l'une à l'autre.
Une première condition pour que deux formes soient équivalentes est qu'elles aient même déterminant et même plus grand diviseur. Mais on sait (n° 153) que ces conditions ne sont pas suffisantes.
Il faudra distinguer entre l'équivalence propre et l'équivalence impropre. Mais l'un des deux cas se ramène à l'autre. Car si les deux formes (a, b, c) et (a', 6', c') sont équivalentes proprement les deux formes (a, 6, c) et (a', — 6', c') le sont improprement.
Définition. — Les classes des formes (a, 6, c) et (a, — b, c) seront dites inverses (').
(^] La plupart des auteurs emploient^ d'après Gauss, le mot « opposéei ».
T^S THÉOBIE DES NOMBRES
On peut remarquer que (a, 6, c) et (c, — b, a) sont de même classe puisque l'on passe de l'une à l'autre par la substitution
modulaire/^ ')*
Donc deux classes inverses peuvent être représentées par le& formes (a, 6, c) et (c, 6, à).
Les problèmes fondamentaux sont maintenant les suivants :
A. • — Reconnaître si deux formes sont de même classe.
B. — Au cas où elles le sont trouver les substitutions modulaires par lesquelles on passe de l'une à l'autre.
On pourra supposer les formes primitives, car si {a, b, c) {a' b' c') sont de même classe il en est de même de {da, db, de) et (da', db', de'). Mais nous n'aurons pas besoin de faire cette supposition dans ce qui va suivre.
Nous nous occupperons d'abord du cas où A <; o, c'est-à-dire des formes définies.
Pour que deux formes définies soient de même classe il faut qu'elles soient toutes les deux définies de même signe. Mais si les deux formes (a, 6, c) et (a', b', c) sont de même classe il en est de môme des formes ( — a, — 6, — c) et ( — a', — b', — c'). Nous nous bornerons donc à la considération des formes et classes définies positives. Dans ces formes le premier et le troisième coefficients sont positifs.
Définition. — Les deux formes (a, 6, c) et ( — a, — 6, — c) seront dites égales mais de signes contraires. Il en sera de même des classes auxquelles elles appartiennent.
La solution des problèmes A et B repose sur la considération des formes réduites.
157. Définition. — La forme définie positive (a, 6, c) est dite réduite lorsque les conditions suivantes sont remplies
Mais le mot « inverse » t'accorde mieux avec la théorie de la composition ou multiplication (Ch. XXI). Gauss avait d'abord assimilé la composition des formes à une addition, mais tout le monde est d'accord maintenant pour l'assimiler à une multiplication.
et de plus, au cas où a = c
Théorème. — Toute forme définie positive est de même classe qu'une forme réduite.
Soit (a, 6, c) la forme donnée. Ne nous préoccupons pas d'abord de la condition (4) et cherchons une forme de même classe que (a, 6, c) et satisfaisant aux conditions (2) et (3).
Si la forme (a, 6, c) ne satisfait pas à la condition (2) appliquons-lui la substitution modulaire ( ), nous obtenons la
forme (a, 2am -+- b, am^ -h bni -+- c). Nous pourrons déterminer l'entier m par la condition que cette forme satisfasse à la condition (2),
— a <; iam H- 6 •< a.
Il suffit de prendre m == El- V
On peut donc supposer que la fomie dont on part satisfaise aux conditions (2). Pour ne pas multiplier les notations désignons cette forme par (a, 6, c). Ainsi on part de (a, 6, c) satisfaisant à la condition — a <; 6 •< a.
Si de plus a <^ c notre but est atteint la forme (a, b, c) satisfait aux conditions (2) et (3). Supposons maintenant que cela ne soit pas, c'est-à-dire que a"^ c.
Appliquons à [a, 6, c) la substitution modulaire ( V
La forme (a, 6, c) se trouve remplacée par la forme
(5) (c 2cm — b cm'* — bm -h a)
et l'on déterminera m de façon qu'elle satisfasse aux conditions (2) — c <[ 2cm — b <^ c
il suffit de prendre m = E( — ^^)-
De cette façon la forme (a, 6, c) est remplacée par la forme (5) qui satisfait encore à la condition (2), mais dans laquelle le premier coefficient est plus petit que dans la forme (a, b, c).
Si cette forme (5) satisfait en outre à la condition (3) notre but
est atteint. Sinon, en continuant le même procédé on obtient une suite de formes satisfaisant toutes à la condition (2) mais dans lesquelles, aussi longtemps que la condition (3) n'est pas remplie, le premier coefficient diminue d'une forme à la suivante. Comme cette diminution ne peut se prolonger indéfiniment puisque ce premier coefficient est un entier positif on arrive nécessairement à une forme satisfaisant aux conditions (2) et (3). ,
Reste la condition (4). Or si la forme obtenue n'y satisfait pas elle est de la forme (a, 6, a) avec 6 <. o ; il suffit de lui appliquer
îa substitution modulaire (° | ; elle devient [a, — 6, a) qui
satisfait à la condition (4). Le théorème est donc démontré. Ce théorème peut encore s'énoncer :
Dans chaque classe définie positive il y a une forme réduite.
