Nous allons maintenant montrer que
Dans chaque classe déji nie positive il n^y a qu'une forme réduite eu, ce qui revient au même,
Deux formes réduites ne peuvent être de même classe que si elles sont identiques.
Lemme. — Dans une forme réduite définie (a, b, c) on a (') D >• 3a*. L'égalité na lieu que si a = b = c.
En eflet D = ^ac — b*. En remplaçant au second membre c et I 6 I par a on diminue ce second membre, sauf si a= c = ] & | . Donc
sauf si a=c=\b\. Si a = c = \ b \ , comme la forme est réduite on a 6 >> o, donc a = b = c et alors D = 3a*.
Remarque. — On voit aussi facilement que D > 36* et D > 3ac, les égalités n'ayant lieu que lorsque a = c = b.
Passons maintenant à la démonstration du théorème annoncé.
Supposons que dans une classe il y ait deux formes réduites (a, 6, c)et(a', b', c), nous voulons montrer qu'elles sont identiques.
(*j Nous rappelons que D
la première à la seconde. On a
Soit i^ "Z ) la substitution modulaire par laquelle on passe de
aa} -4- feay 4- cy^ = a'
, laa.^ + 6(aS + Py) 4- îc^S = 6'
^'^' ^ ap2 ^. t^8 j c52 ^ c'
a8 — jîy = I .
Remarquons d'abord que si la substitution (^ "^j satisfait à
ces conditions, la substitution ( '^ C) y satisfait aussi. Ceci
posé, la première des équations (7) donne (8) (aaa -f- h^if H- Dy^ = 4aa'.
Or, les deux formes étant réduites, on a D > 3a* et D '>» 3a'*. Donc D > 3aa'.
Alors l'égalité (8) montre que 7 ne peut dépasser i. Donc y = 0 ou -f ou — I .
i" Supposons y = o. Alors la dernière des équations (7) donne ac? = I d'où a = c? = d= I , et d'après une remarque faite plus haut on peut se borner à a = (j* = i , Avec ces valeurs de a, y, c?, les équations (7) donnent
1 aa^ -4- 6 = 6' ap* -}- 6^ + c = c'.
Or
et
d'où (puisque a
Donc
— 2a <^ h' — h <^ia.
Par suite la seconde des égalités (9) donne |3 = o. Alors b = b' et c = c' et le théorème est démontré.
2** Supposons maintenant y =± i , ou plus simplement d'après la remarque préliminaire y = i. On peut, puisque rien ne dis-
282 THÉORIF. DES ?(OMBRES
tingue les formes (a, 6, c), (a', 6', c') supposer
L'égalité (8) où y = i donne
(aca -4- '6)« = liaa' — D
c'est-à-dire, d'après (6) et (10)
(aaa -h hf < a».
Comme | 6 | <c a^ ceci exige que a = o, -t- i ou — i. Nous diviserons donc le cas de y = i en trois autres.
La dernière égalité (7) donne jS = — i et la première donne c = a!.
Comme a' «^ a < c on voit que
(11) ol z= a=:^ c.
• La deuxième des égalités (7) donne alors (la) 2cS = 6 + 6'.
Or
ou, d'après (11)
— ac << 6 -+- 6' < 2c.
Donc (12) donne
Ainsi (J^ = G ou I .
Si (^ = G la substitution y "I ) se réduit à ( |. La pre-
mière forme est [a, b, a) et la seconde est (a, — b, a). Mais d'après (A) ces deux formes ne peuvent être réduites en même temps que si 6 = o, alors les deux formes sont identiques.
Si c? = I, la substitution | '! | se réduit h (^ |.
La première forme est (a, 6, a) et la seconde est (a, na — 6, 2a — b). La seconde étant réduite c'est que 2a — 6 «^ a d'où a <^ 6. Mais déjà 6 -< a. Donc a= b. Alors les deux formes sont
identiques h [a, a, a).
La première des égalités (7) donne
a -h- b -\- c = a' ce qui est impossible puisque a' <ï a et que 6 >> — a >• — c.
La première des égalités (7) donne
Or a' < a. Donc 6 > c. Mais 6 < a < c. Donc a = 6 = c, et la première forme est (a, a, a). La première des égalités (7) donne alors a' = a. La seconde donne
Or
— a' < 6' < a' d'où
Donc & — /3 = o ou I .
Mais la dernière des équations (7) donne
Gomme r} — |S et c? -f- |S sont de même parité on a donc nécessairement â — ^ = i . Alors 0^ = o, |3 = — • i . La substitution y ^) se réduit k ( M. Elle transforme la forme
(fi, a, a) en elle-même. Donc dans ce cas encore les deux formes sont identiques et le théorème est démontré.
