Substitutions automorphes d'une £orzne réduite
En même temps qu'on a démontré ce théorème on a trouvé les valeurs de a. ^, y, & ; par conséquent les substitutions modulaires qui transforment une forme réduite en elle-même c'est-à-dire les substitutions modulaires automorphes de cette forme (I, 248). On a ainsi les résultats suivants :
284 THÉORIE DES NUMBUES
Toute forme définie réduite a les deux substitutions modulaires automorphes suivantes :
I = ( j (substitution identique),
et J = ( I (substitution identique changée de signe).
En général il n'y en a pas d'autres. Mais les Jormes (a, o, a) ont en plus les deux substitutions modulaires automorphes :
T=(l, l) et TJ = (o -;) •
et les formes (a, a, a) ont en plus del et J les substitutions modulaires automorphes :
u = (l. ;> uj = (° -;),
Remarquons à ce propos que U~^ = U* (d'où U* = i).
On introduit souvent dans les calculs la substitution S =^( ).
On a U = TS. Alors les six substitutions automorphes de (a, a, a) sont I, J, TS, TSJ, S-'T, S-^TJ (en remarquant que T"^ = T)
En particuliei si l'on ne considère que des formes réduites on a les résultats suivants :
Toute forme définie réduite primitive différente de (i, o, i) et de {if I, i) a comme substitutions automorphes I et J.
La forme (i, o,i) a comme substitutions automorphes I, J, T et TJ.
La forme (i, i, i) a comme substitutions automorphes I, J, TS, TSJ, S-^T, S-^TJ.
160. Résolution des problèmes A et B. — Nous pouvons maintenant résoudre les problèmes A et B. Pour voir si deux formes J et g sont de même classe on cherche leurs formes réduites. Si celles-ci sont identiques/ et g sont de même classe, sinon, non.
En faisant ce calcul on a trouvé des substitutions modulaires 2
et 2i par lesquelles on passe de y et ^ respectivement à la forme réduite commune h.
Alors toutes les substitutions modulaires permettant de passer de/à ^ sont de la forme 2!.\"^T', A étant une substitution automorphe de h (I. 25 1). Or on sait trouver toutes les substitutions automorphes de h (n° 159).
Le problème B est donc résolu.
I*' Exemple. — Soient les deux formes (97, — i6o, 66) et (34, — 20, 3) de même discriminant 8.
1° Cherchons la forme réduite de (97, — 160, 66). La forme donnée ne satisfait pas à la condition (a). Ici
On applique donc la substitution ( ) la forme devient (97, 34, 3).
Celle-ci ne satisfait pas à la condition (3). Ici
<-^1 = KÏ)=«.
on applique donc la substitution ( r )' ^* forme devient (3, a, i)
qui ne satisfait pas encore à la condition (3).
On applique donc la substitution / ), la forme devient (1,0, 2)
qui est réduite.
On passe d'ailleurs de (97, — 160, 66) à (1.0,2) par la substitution
a" Appliquant le même procédé à la forme (34, — 20, 3) on trouve
la substitution ( q / ) conduisant à la même forme réduite (i, o, 2).
Les deux formes sont donc de même classe.
3° Les deux seules substitutions automorphes de (i, o, 2) sont
a86 THÉORIE DES NOMBRES
Donc les deux seules substitutions modulaires par lesquelles on passe de (97, — 160, 66) à (34, — ao, 3) sont ( ' fi) ®*^
2* Exemple. — Trouver la forme réduite de [Sg, laS, 97) et les substitutions modulaires par lesquelles on y passe.
On trouve (i, i, i) comme forme réduite et la substitution
Il y a 6 substitutions répondant à la question à savoir I., ZJ, 1.1], sUJ, sU2, sU»J.
3* Exemple. — Reconnaître que les deux formes (ao^, — a84, 101) et (21, — a, 21 ) sont équivalentes improprement, et trouver les substitutions de déterminant — 1 par lesquelles on passe de la première à la seconde.
Il suffit d'appliquer le procédé précédent à la première forme et à la forme inverse de la seconde (n* 156) soit (ai, 2, 21). On trouve ainsi que l'on passe de (ao4, — a84. loi) à (ai, — a, 21) par les deux
substitutions! ^ ) ^'' ( ^j'
Système complet d'invariants pour une classe de formes quadratiques binaires définies {l 294). — Un tel système est formé par les trois coefficients de la forme réduite.
161. Réponse à la question (I. 270) pour deux formés quadratiques binaires définies. — Deux formes quadratiques binaires définies à coefficients entiers qui représentent les mêmes entiers sont équivalentes.
Il suffit de démontrer que leurs formes réduites sont identiques ou inverses. Pour cela nous allons donner une signification des coefficients de la forme réduite au moyen des entiers représentés par la forme. On suppose toujours, pour fixer les idées^ a et c positifs.
Théorème. — Considérons la suite, par ordre de grandeur non décroissante, des entiers différents de zéro représentés par une forme réduite positive (a, b, c), chacun d'eux étant écrit autant de fois quil est représenté {ce nombre de fois est limité [n'^ 120)).
1° Le premier de ces entiers est a.
1° Chacun des entiers a, 4a, 9a, ... n^a, se trouve au moins
deux fois dans la suite. Si on supprime chacun deux foist le premier et le second de ceux qui restent sont égaux à c et le troisième est égal à a — | 6 | H- c.
Lemme. — Si dans la forme réduite /(x^ y) = ax^ -f- hxy-\-cy^ la valeur de y est fixe et qu'on donne à x la valeur entière qui rend la valeur de J la plus petite possible, cette valeur de f augmente avec I y I .
En effet, cette valeur de x est l'entier le plus voisin de ^
aa \ 2 a/
(S'il y a deux entiers équidifférents de — ~ , ces deux entiers
répondent à la question, elles donnent la même valeur hj). La valeur la plus petite dej est donc
ou
Or si [ ;y I augmente, y* augmente au moins de i, et par suite -^ augmente au moins de j- tandis que a9~ diminue au plus de - . Or
car on a vu (n° 158) que D > 3a^.
Donc si I y I augmente, la valeur (i3) augmente. Le lemme est ainsi démontré.
Ceci posé faisons y = o ; les valeurs que prend / correspondantes aux différentes valeurs de x sont
/ I ... an^ ... 4a a o a 4a ... ari^
(lesflèches indiquent le sens de croissance de/).
La plus petite de ces valeurs de /est o et elles vont en croissant dans chaque sens à partir de o, elles sont deux à deux égales, la plus petite après o est la valeur a qui est atteinte deux fois.
Faisons maintenant j = i, la plus petite valeur de/ est atteinte
pour X = +^'( — -'^5*^-y Or, puisque la forme est
réduite, on a — a <ib <^ a, d'où
2 aa 2
Si 6 <C a la valeur la plus voisine de est o et l'on a le
tableau suivant :
/ I ... an* — bn-\-t ... Ixa — a6-j-c a — b-\-c c a-|-6-hc 4a-+-36-f-c ... an'-^bn-hc
la plus petite des valeurs de/ est c et ces valeurs vont en croissant dans chaque sens à partir de c. Elles ne sont atteintes chacune qu'une fois, en effet si l'on avait
an'^ -\~ bn -]- c = an" — 6n' H- c (" > o "' !> o) on en déduirait après simplifications
ce qui est impossible puisque b <. a.
La plus petite valeur après c est alors a — | 6 | + c.
Si 6 = a il y a deux valeurs entières de x qui sont les plus
voisines de à savoir — i et o, et on a le tableau suivant
y I ... lia — ao -t- c c c a-hb-+-c
Les valeurs de/ sont deux à deux égales car
an'^ ~\- bn -\- c = a(n -+- i)^ — 6(n + i) -H c. Si donc on range ces valeurs par ordre la première est c et la
seconde aussi. Mais ici c = a — | 6 ] -h c on peut donc encore dire que la seconde est a — j 6 | H- c.
11 faut ensuite faire y = — i, mais on retrouve les mêmes valeurs pour J.
Faisons maintenant y = 2. Je dis que n'importe quelle valeur atteinte par la forme est plus grande que a — | 6 | H- c
ax- -\- ihx -\- c"^ a — |fe|+c ou
ax'^ -\- 2bx — a + I 6 I H- 3c >» o.
Pour le démontrer il suffît de démontrer que le déterminant du premier membre est négatif. Or il est égal à
\b\[\b\—a]-ha{a — 3c)
qui est négatif puisque | 6 | < a <^ c.
De toute celte discussion résulte le théorème annoncé.
On en conclut qu'étant donnée la suite des entiers que représente une forme définie on peut en déduire les valeurs de a, de c et de a — | 6 | + c, par suite celles de | 6 | . Donc si deux formes définies représentent les mêmes entiers leurs formes réduites sont identiques ou inverses ; dans les deux cas elles sont équivalentes.
Remarque I. — Les résultats de ce numéro sont indépendants de ceux des n°* 158 et 159. Si on les suppose acquis auparavant on peut simplifier beaucoup les démonstrations de ces numéros.
En effet dans les équations (y) on sait tout de suite que a' = a, c' = c, b' :^±: b. De plus si a ;z£ c on sait que la valeur a est atteinte uniquement pour a; = ±i,j=o; on sait donc que dans ces équations « = ±i, |3 = o.Le lecteur achèvera facilement.
Remarque II. — Si l'on ne considère que les entiers représentés primitivement par la forme, et si on ne considère pas comme distinctes les deux représentations x =. Xo, y =^ yo et x = — aîo, y ^= — jo on a l'énoncé simple suivant :
Les trois plus petits entiers représentés primitivement par la Jorme sont, par ordre de grandeur non décroissante : a, c, a — I 6 I -I- c.
Gàhin. — Théorie des nombres, t. II. 19
Mais cet énoncé ne suffît pas pour démontrer le résultat que nous avions en vue sur l'équivalence de deux formes qui représentent les mêmes entiers.
