Formes définies à coefficients non entiers. — Les

formes considérées jusqu'à maintenant étaient à coefficients entiers. Supposons maintenant que ce soient des nombres réels quelconques. Mais les variables recevront encore des valeurs entières. Voyons ce qui subsiste des résultats précédents et ce qu'il faut y modifier.

La définition des formes équivalentes et celle des formes de même classe subsiste, mais non celle des formes primitives et celle du plus grand diviseur d'une forme.

La définition des formes réduites subsiste. Le théorème du n** 157 subsiste.

En effet sa démonstration subsiste sauf le point suivant. On s'est appuyé sur ce que les premiers coefficients des formes successives qu*on considère ne peuvent diminuer indéfiniment parce que ce sont des entiers positifs. Ici les premiers coefficients ne sont pas en général des entiers. Mais on remarque que le premier coefficient d'une forme est toujours un nombre représentable par la forme (pour x = i, y = 6).

Comme les formes successives qu'on considère dans la démonstration sont équivalentes, leurs premiers coefficients sont représentables par la première forme. Alors la démonstration du n° 157 subsiste pourvu qu'on ait démontré au préalable que : Les nombres représentables par une forme déjînie positive [a, b, c) pour des valeurs entières de x, y et inférieurs à une limite donnée A sont en nombre fini. Or de

ax- -i- bxy -h cj* = m on déduit

{nax H- byY H- (4ac — b^)y^ = lium.

Donc

^ "^ hac — 6* ^ Aac— b*'

Les valeurs entièreà de y satisfaisant à cette inégalité sont en nombre fini et la démonstration s'achève facilement.