FORMES DEFINIES A COEFFICIENTS NON ENTIERS 29 I

Le théorème du n® 161 s'applique aussi aux formes définies à coefficients quelconques.

163. — On a défini au n" 148 les racines d'une forme (a, b, c).

La connaissance d'une forme entraîne celles de ses racines. La réciproque n'est pas vraie ; la connaissance des racines n'entraîne celle de la forme qu'à un facteur constant près, les formes f(x, y] et )/(j:, y) ayant les mêmes racines.

Mais si l'on se borne aux formes à coefficients entiers et primitives, la connaissance des racines entraîne celle de la forme au signe près ; il n'y a que les deux formes / et — / ayant des racines données.

Dans le théorème qui va suivre il s'agira de formes binaires quelconques.

Théorème. — Sif(x, y) est une forme binaire et F(a;, y) sa

transformée par la substitution homogène ('^ \\ les racines de f sont les transformées de celles de F par la substitution homographique (Ç ^^.

En effet :

^{^> y) =/(^^ + f>yr yx -H oj).

Si dans cette égalité on remplace x par une racine û de F et y par I , il vient

O =f{aQ -h §, YÛ H- 8)

et en divisant par (yû 4- o^)'" (m = degré de/) (*).

Donc ^ g est une racine de J.

Corollaire, — SiJ et F sont proprement équivalentes, chacune des racines de f est proprement équivalent à une racine de F. Si f

(i) Ce raisonnement ne s'applique pas si Q = — -. Dans ce cas / contient

y en facteur et le théorème est encore vrai en admettant que / à une racine inSnie.

et F sont improprement équivalentes, chacune des racines de f est improprement équivalente à une racine de F (la définition du n" 103 pour les nombres équivalents étant étendue aux nombres imaginaires).

164. Théorème I. — Si deux nombres imaginaires sont équivalents les coefficients de leurs parties imaginaires sont de même signe ou de signes contraires suivant que les nombres sont équivalents proprement ou improprement.

Soient a-hbi et ^^^ ^ ^-^ ^ g {(^â — fiy = ± i) ces deux

nombres. On calcule facilement le coefficient de la partie imaginaire du deuxième de ces nombres. Il est égal à

(ta -h 8y -h fb^'

Il est donc du même signe que b ou de signe contraire suivant que aâ — fty = |- ou — i .

Définition. — Nous appellerons première racine d'une forme

définie (a, b, c) la racine (ji = ~ ^-^, la deuxième est

~ — "^ ' ^ . Autrement dit îa première racine est celle dans 2a ^

laquelle le coefficient de i est du signe de a, la deuxième est celle

dans laquelle le coefficient de i est du signe contraire de a.

Remarque. — Les deux formes /et Ij (X = constante) ont les mêmes racines. Si X > o elles ont même première racine et même deuxième racine. Si ). <C o la première racine de l'une est la deuxième racine de l'autre. Cette dernière remarque s'applique en particulier aux deux formes /et — J.

Théorème II. — SiJ et g sont deux Jormes binaires quadratiques définies dé même classe leurs premières racines sont équivu' lentes entre elles. Sif et g sont improprement équivalentes la première racine de tune est improprement équivalente à la deuxième de l'autre.

Théorème III. 7— Pour que deux formes quadratiques binaires définies positives soient de même classe il faut et il suffit que leurs Dremières racines le soient.