FORMES DÉFÎMES A COEFFICIENTS NON ENTIERS

Ces deux théorèmes sont les conséquences immédiates de ce qui précède.

Le problème de l'équivalence de deux formes quadratiques binaires définies est ainsi ramené à celui de l'équivalence de deux nombres imaginaires. (Les formes sont à coefficients réels quelconques, non forcément entiers).

Conséquences. — Soit une forme définie positive (a, 6, c) ; sa première racine est

— 6 -h iVD

On a

Ç + rii =

d'où

Alors les conditions (2), (3) et (4) pour que la forme soit réduite s'écrivent :

et, dans le cas où q* h- yj^ = i , la condition supplémentaire I <^ o. On a d'ailleurs >; >• 0.

Nous dirons qu'un nombre imaginaire à partie réelle positlvi est réduit quand il satisfait à ces conditions. Alors une forme définie positive est réduite quand sa première racine l'est et le théorème démontré précédemment, à savoir que toute forme définie positive est équivalente à une forme réduite et à une seule nous montre que tout nombre imaginaire à partie réelle positive est proprement équivalent à un nombre réduit et à un seul.

Les substitutions automorphes d'tme forme correspondent aux substitutions automorphes de sa première racine. Cependant il faut remarquer qu'aux deux substitutions

ax -^ ^y

— ax — Py

yx -t-8y

distinctes pour une forme, ne corresponde pour sa racine qu'une

seule substitution

En particulier la substitution J (n° 159) n'en fait plus qu'une avec la substitution identique. Plus généralement deux substitutions A et AJ deviennent les mêmes. On a alors les résultats sui- • vants.

Tout nombre imaginaire qui nesl équivalent ni à i ni à

~ — na quune substitution automorphe, la substitution

identique.

Tout nombre imaginaire équivalent à i a deux substitutions automorphes. Les deux substitutions automorphes de i sont

il ") ^' {", ~ï)' ''"'' <>' J^i («cf-(3v = ±.)V.« déduisent facilement.

Tout nombre imaginaire équivalent à "^ a trois substitutions automorphes. Les trois substitutions automorphes de

=-^^ ^on> c :). (L . :) ^' {: - ;). -"- '>^

- s'en déduisent facilement.

Nous continuerons à appeler I la substitution homograpbique (^ °\,\} !& substitution /\ M, S la substitution ( ^ '^et

T la substitution ( ) . Il ne peut pas y avoir de confusion

entre ces substitutions et les substitutions homogènes correspondantes.

165. — De la théorie précédente on peut déduire un résultat important relatif au groupe des substitutions modulaires.

Considérons d'abord les substitutions homographiques. Prenons un nombre quadratique imaginaire à partie réelle positive oj qui

ne soit ni de Ja classe de / ni de celle de ~~ ^ ~^ — — . Appliquons-