FORMES DÉFINIES A COEFFICIENTS NON ENTIERS SQS
lui une substitution modulaire quelconque 2 ; il se transforme en un nombre w' et il n'y a que la substitution 1 qui transforme « en w'. Or on a vu (n° 157) qu'on peut passer de w à w' par une
suite de substitutions ( ^ ] c'est-à-dire S'" et ( ) c'est-à-
dire TS"*. Donc toute substitution du groupe modulaire homogra-
phique est décomposable en un produit de substitutions S et T.
Pour cette raison S et T seront appelées substitutions fondamentales de ce groupe.
Mais la décomposition est possible d'une infinité de manières à cause des relations faciles à vérifier :
T2=i (ST)'=i.
On en déduit facilement, pour le groupe des substitutions modulaires homogènes à deux variables que toute substitution de ce groupe est décomposable en un produit de substitutions S et T, ou en un tel produit multiplié par J.
166. — Le résultat précédent peut aussi se déduire de la théorie des formes linéaires. C'est ce que nous allons faire en le généralisant par extension au cas des substitutions à n variables.
Théorème. — Toute substitution unité S linéaire homogène sur n variables, 2, est décomposable en un produit de subititutions fondamentales qui sont :
1° Le changement de Xi en — Xi ;
2° Les Iransposilions de x^ avec chacune des autres variables x^, x^, ... aï,, ,
3° La substitution Xi | Ti -t- Xo ; en tout n -\- i substitutions fondamentales.
En effet, prenons un système de ;i formes linéaires indépendantes à n variables et à coefficients entiers, A. Appliquons-lui la substitutions, nous obtenons un nouveau système de n formes linéaires indépendantes. Appelons-le B,
On sait (I. 288) qu'on ne peut passer de À à B que par la substitution 2.
D'autre part (I. a85 et suiv.), on passe de A à B par une suite de substitutions des formes suivantes i
(a) Substitutions de la forme
^h I qiXi H- q2X2 + ... -f- Xa -4- ... + q^Xn {le coefficient de x/i du côté droit étant i).
(6) Transpositions de Xi avec les autres variables. (c) Changements de signe.
Maintenant, les substitutions (a) se ramènent encore à un produit de substitutions plus simples. Car la substitution
Xh 1 qiXi -+- qiXi -+- ... -h x^-h ... -\- qnXn
est égale au produitMes suivantes
{Xh I qtXi + Xh){xh I q^i + x^) ... {x^ \ qn^n -h x^).
L'une de ces dernières Xh\ x^-k- q^x^ par exemple est égale, si q/^ est positif à (ct/, | x^ -+- x^)'* . Si qi^ est négatif elle est égale à (x/i 1 Xft — ac*)~^* et d'ailleurs
Xh I Xh — Xk = {Xk I — Xk){xh I Xh 4- aî/,)(a;A. | — Xk).
Nous avons ainsi ramené la substitution 2^ à un produit de substitutions des formes suivantes :
(«') Xh\ Xh-+- Xk.
{h') Transpositions.
(c') Changements de signe.
Maintenant la substitution X/, | ar^ H- x^ peut se remplacer par le produit
(xi II Xh){xt II Xk){Xi I Xi -h Xi){xk II X2)(x/, Il Xi) (i(.
Donc toutes les substitutions (a') se ramènent à la substitution Xi I Xj -+- X2 et à des transpositions.
Ensuite la transposition x/, || x^ peut se remplacer par le produit
(x, ||x/,)(xi |1xa)(xi 11 Xh).
Et enfin un changement de signe x^ | — x^ peut se remplacer par le produit
(Xi II X/,)(X, I — Xi)(Xi II Xh).
Le théorème est alors démontré.
Remarque. — De ces n -h 1 substitutions fondamentales les n premières ont un déterminant égal à — i, et la (n -h i)^™^ un déterminant égal à 4- I . En remarquant que
(*) Rappelons que la notation Xh jj xk signifie la transposition ou l'échange de Xh et Xk.
DECOMPOSITION DES SL'BSTITUTIOÎSS UNITES
on voit qu'on peut prendre comme substitutions fondamentales les suivantes :
(a") Les n — 1 substitutions :
{b") La substitution
Xi \ Xi -{- X2
(c") Changement de signe de ari.
Alors toutes ces substitutions ont le déterminant H- i , sauf la dernière.
Théorème. — Une subslilution unité étant mise sous forme de produit des substitutions précédentes, on peut faire que la substitution Xi \ — Xj. n'entre qu'une fois au plus dans ce produit et soit placée la dernière.
En effet si cette substitution se trouve dans le produit précédant une
substitution
Xh
l'égalité
on pourra la faire passer après au moyen de
^\Xh — xj \Xu — XiJ "^ ' ^
Xî on pourra
Si elle se trouve précédant la substitution Xi \ Xi la faire passer après au moyen de l'égalité
{xi \ — Xi)(xi I Xi H- aja) =
=GtJ{-h--)(:;i-J(-h--)C:l-O(H-^0
Toutes les substitutions Xj | — x^ étant ainsi rejetées à la fin du produit, on peut d'ailleurs réduite leur nombre à zéro ou un au moyen de l'égalité
(Xi I — Xi)2 = 1
La substitution est alors modulaire (de déterminant = + i) ou de
déterminant = — 1 . suivant que cette substitution Xi | — Xj n'existe
pas ou existe. On voit ainsi que toute substitution modulaire est un
cCâ I ce h produit de substitutions > soit T/„ et Xi | Xi H- x^, soit S.
On peut aussi prendre comme substitutions fondamentales les substi-
tutions T/. = "^M ^^ et V = "^^
X/i I Xi X2
De plus la relation T^* = i permet de réduire les exposants des T/t
de à G, 1 , 2 OU 3 et la relation V^ = 1 permet de réduire les exposants de V à o, 1 ou 2.
Reste à savoir si avec ces nouvelles substitutions fondamentales la décomposition d'une substitution modulaire n'est possible que d'une seule manière (les exposants des T/, n'étant, bien entendu, déterminés qu'au module 4 près et ceux de V au module 3 près). Cela n'est pas pour n >> 2, car on a par exemple :
Mais pour n = 2 il n'y a qu'un T/,, les relations de la forme précédente n'existent donc pas et la question peut se poser (Voir la note III de ce chapitre).
Remarque. — Ces résultats s'étendent immédiatement aux substitutions homographîques à n — 1 variables — , —, ... "~^, mais dans ce cas l'exposant des T/, est réduit à 2.
167. — Les résultats précédents relatifs aux substitutions sont aussi des résultats relatifs aux tableaux. Ils permettent d'énoncer le théorème suivant :
Tout déterminant égal à i et à éléments entiers peut se former en partant du déterminant dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à i et les autres nuls, et faisant sur ce déterminant un certain nombre de fois les deux opérations suivantes : 1° Echange d'une colonne avec la première avec changement de signe des éléments de la nouvelle première colonne ; 2° addition des éléments de la première colonne à ceux de la seconde.
I. — Vérifier l^équivalence des couples de formes suivants et trouver les substitutions modulaires par lesquelles on passe de la première à la seconde
et
(uA, 292, 187)
et
et
II. — En faisant les mêmes hypothèses que dans la remarque II du n° 161 démontrer que dans la suite des entiers considérés et dont les
NOTES ET EXERCICES 2g9
trois premiers sont a,c,a — | 6 ] H- c ; le quatrième est a -h j 6 | H- c, le cinquième est [\a — 2 | 6 | + c, le sixième et le septième sont 4a-f-2|6|+ceta — 2|6|-}-4c; mais on a
4aH-2|6|+c§a — 2|6|+4c
suivant les cas (^).
111. — Dans le groupe des substitutions homographiques à une variable, modulaires, si l'on prend comme substitutions fondamentales
chaque substitution modulaire n'est décomposable que d^une façon en pro~ duit de substitutions T et V, les exposants de T étant o ou i, et ceux des V étant o, 1 ou 2.
IV. — Appelons substitutions modulaires de première famille les
dZ I Ci
substitutions z ~\ où a, S, y, ô sont >> o et où l'on a a > S et
yz + 0 . '^' "
ot >» y. Démontrer que le produit de deux substitutions de première famille est une substitution de première famille. En déduire une théorie de la divisibilité de ces substitutions analogue à celle des entiers. (11 faut distinguer la divisibilité première manière et la divisibilité seconde manière.
V. — Résultats analogups pour les substitutions modulaires dans lesquelles a, ,3, y ° sont >- o et où a -< ^ et a <; y-
VI. — Il n'y a pas entre les substitutions du groupe modulaire homographique à une variable de relation non identique, indépendante des relations T^* = i, V^ = 1 (^).
(1) G. HuMBBRT, C. R. A. S., 160 (1915), p. 647. G. JuLLiA, id. 162 (1916), p. l5l.
(2) Pour les exercices 111 à VI voir E. Cahbh, Ballet, de la Soc. Math, de France, t. 43 (i9i5), p. 69.
